Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - pochodna funkcji w punkcie


Obliczyć pochodną funkcji f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases} w punkcie x0=0.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f(x_0)=f(0)=0 \\ \lim_{h\to 0^+}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{h^2}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{h}=0 \\ \lim_{h\to 0^-}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{\frac{-2h^2-0}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{(-2h)}=0

Istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x0=0 dla przyrostu h, więc funkcja f(x) jest różniczkowalna w tym punkcie i ma pochodną f '(0)=0.



ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x0=0.

Nasza funkcja ma postać:

f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}

Wartość funkcji w tym punkcie obliczymy, podstawiając liczbę 0 do wzoru funkcji za x (pierwszy wzór z powyższych w klamrze).

f(x_0)=f(0)=0^2=0

Pochodną funkcji w punkcie możemy obliczyć, korzystając ze wzoru:

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}

Mamy tutaj jednak do czynienia z pewną trudnością, gdyż funkcja ma inną postać z lewej i prawej strony punktu x0. Musimy sprawdzić, czy istnieje granica ilorazu różnicowego prawostronną i lewostronną:

\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{h^2-0}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{h}=0 \\ \lim_{h\to 0^-}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{\frac{-2h^2-0}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{(-2h)}=0 tło tło

Fragment powyższych rachunków zaznaczony na żółto jest istotny. Ponieważ dążymy do zera z lewej strony punktu 0, bierzemy pod uwagę ujemne przyrosty h, a zgodnie z przytoczonym wzorem funkcji, otrzymujemy w wartości funkcji obliczane zgodnie z drugim wzorem w klamrze, czyli -2x2.

Ponieważ obie granice są sobie równe, to istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x0=0 dla przyrostu h, więc funkcja f(x) jest różniczkowalna w tym punkcie i ma pochodną równą tej granicy, czyli f '(0)=0.

ksiązki Odpowiedź

f '(0)=0

© medianauka.pl, 2010-09-05, ZAD-890





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.