Zadanie - pochodna funkcji w punkcie

Rozwiązanie zadania uproszczone

Istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x0=0 dla przyrostu h, więc funkcja f(x) jest różniczkowalna w tym punkcie i ma pochodną f '(0)=0.
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Obliczamy wartość funkcji w punkcie x0=0.
Nasza funkcja ma postać:

Wartość funkcji w tym punkcie obliczymy, podstawiając liczbę 0 do wzoru funkcji za x (pierwszy wzór z powyższych w klamrze).

Pochodną funkcji w punkcie możemy obliczyć, korzystając ze wzoru:

Mamy tutaj jednak do czynienia z pewną trudnością, gdyż funkcja ma inną postać z lewej i prawej strony punktu x0. Musimy sprawdzić, czy istnieje granica ilorazu różnicowego prawostronną i lewostronną:



Fragment powyższych rachunków zaznaczony na żółto jest istotny. Ponieważ dążymy do zera z lewej strony punktu 0, bierzemy pod uwagę ujemne przyrosty h, a zgodnie z przytoczonym wzorem funkcji, otrzymujemy w wartości funkcji obliczane zgodnie z drugim wzorem w klamrze, czyli -2x2.
Ponieważ obie granice są sobie równe, to istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x0=0 dla przyrostu h, więc funkcja f(x) jest różniczkowalna w tym punkcie i ma pochodną równą tej granicy, czyli f '(0)=0.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-05, ZAD-890
Zadania podobne

Obliczyć pochodną funkcji f(x)=-x2+x-1 w punkcie x0=-1.
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć pochodną funkcji f(x)=x2 w punkcie x0
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć pochodną funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć pochodną funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć pochodną funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania