Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji

Zadanie - pochodna funkcji w punkcie

Obliczyć pochodną funkcji $f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}$ w punkcie x₀=0.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f(x_0)=f(0)=0 \\ \lim_{h\to 0^+}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{h^2}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{h}=0 \\ \lim_{h\to 0^-}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{\frac{-2h^2-0}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{(-2h)}=0$

Istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x₀=0 dla przyrostu h, więc funkcja f(x) jest różniczkowalna w tym punkcie i ma pochodną f '(0)=0.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x₀=0.

Nasza funkcja ma postać:

$f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}$

Wartość funkcji w tym punkcie obliczymy, podstawiając liczbę 0 do wzoru funkcji za x (pierwszy wzór z powyższych w klamrze).

Pochodną funkcji w punkcie możemy obliczyć, korzystając ze wzoru:

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$

Mamy tutaj jednak do czynienia z pewną trudnością, gdyż funkcja ma inną postać z lewej i prawej strony punktu x₀. Musimy sprawdzić, czy istnieje granica ilorazu różnicowego prawostronną i lewostronną:

$\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{h^2-0}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{h}=0 \\ \lim_{h\to 0^-}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{\frac{-2h^2-0}{h}}=\lim_{h\to 0^-}{(-2h)}=0$ tło

Fragment powyższych rachunków zaznaczony na żółto jest istotny. Ponieważ dążymy do zera z lewej strony punktu 0, bierzemy pod uwagę ujemne przyrosty h, a zgodnie z przytoczonym wzorem funkcji, otrzymujemy w wartości funkcji obliczane zgodnie z drugim wzorem w klamrze, czyli -2x².

Ponieważ obie granice są sobie równe, to istnieje granica ilorazu różnicowego w punkcie x₀=0 dla przyrostu h, więc funkcja f(x) jest różniczkowalna w tym punkcie i ma pochodną równą tej granicy, czyli f '(0)=0.

Odpowiedź

f '(0)=0

Zadania podobne

Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=-x²+x-1 w punkcie x₀=-1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=x² w punkcie x₀

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji $f(x)=\frac{1}{x+1}$ w punkcie x₀=0

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - różniczkowalność funkcji
Obliczyć pochodną funkcji

w punkcie x₀=0

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - różniczkowalność funkcji
Obliczyć pochodną funkcji

w punkcie x₀=0

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.