Nauka » Matematyka » Obliczanie pochodnych

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji

Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=\frac{(\sqrt[5]{x})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot (10x^8)'}{(10x^8)^2}=\frac{(x^{\frac{1}{5}})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\frac{\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\\ =\frac{2x^8\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}- 80x^7\sqrt[5]{x}}{100x^{16}}=\frac{2x^7(\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}- 40\sqrt[5]{x})}{100x^{16}}=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}- 40\sqrt[5]{x}}{50x^9}=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}- 40\sqrt[5]{x}\cdot \frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\\ =\frac{\frac{x-40x}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\frac{-39x}{50x^9\sqrt[5]{x^4}}=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Dana jest funkcja $f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}$

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.

$f'(x)=\frac{(\sqrt[5]{x})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot (10x^8)'}{(10x^8)^2}=\frac{(x^{\frac{1}{5}})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\frac{\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=" style="Vertical-Align:0px; border:none; position:absolute; left:10px; z-index:1;$ tło

W obu zaznaczonych fragmentach zastosowano wzór:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

czyli kolejno dla fragmentu zaznaczonego na żółto:

$(\sqrt[5]{x})'=(x^{\frac{1}{5}})'=\frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1}=\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{5}\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

oraz dla fragmentu zaznaczonego kolorem fioletowym

$(10x^8)'=10\cdot 8x^{8-1}=80x^7$

Po uwzględnieniu powyższych rachunków mamy:

$=\frac{\frac{1}{\cancel{5}}\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\cdot \cancel{10}^{2}x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\frac{2x^8\frac{1}{\sqrt[5]{x}}- 80x^7\sqrt[5]{x}}{100x^{16}}=$

W liczniku wyciągniemy przed nawias czynnik 2x⁷:

$=\frac{\cancel{2x^7}(\frac{x}{\sqrt[5]{x}}- 40\sqrt[5]{x})}{\cancel{100}_{50}x^{\cancel{16}^{9}}}=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}-40\sqrt[5]{x}}{50x^9}=$

Wykonujemy teraz odejmowanie w liczniku ułamka, sprowadzając liczby do wspólnego mianownika:

$=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}-40\sqrt[5]{x}\cdot \frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\frac{\frac{x-40x}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\frac{-39x}{50x^9\sqrt[5]{x^4}}=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}}$ tło

Wyjaśnienia może jeszcze wymagać fragment zaznaczony kolorem żółtym:

$\sqrt[5]{x}\cdot \sqrt[5]{x^4}=x^{\frac{1}{5}}\cdot x^{\frac{4}{5}}=x^{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}}=x^1=x$

Skorzystaliśmy tutaj z własności działań na potęgach.

Alternatywne rozwiązanie.

Możemy też inaczej podejść do zadania. Najpierw wykonamy działania na potęgach, a potem obliczymy pochodną:

$f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}=\frac{1}{10}\cdot x^{\frac{1}{5}}:x^8=\frac{1}{10}x^{\frac{1}{5}-8}=\frac{1}{10}x^{-\frac{39}{5}}\\ f'(x)=(\frac{1}{10}x^{-\frac{39}{5}})'=\frac{1}{10}\cdot(-\frac{39}{5}x^{\frac{-44}{5}})=\frac{-39}{50x^{\frac{44}{5}}}=\frac{-39}{50x^{8+\frac{4}{5}}}=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}}$

Odpowiedź

$f'(x)=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}}$

Zadania podobne

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-\frac{1}{2}\\ b)g(x)=x^{17}\\ c)h(x)=x^{\frac{1}{3}}\\ d)i(x)=x\\ e)j(x)=\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-x+5\\ b)g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\\ c)h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\\ d)i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\\ e)j(x)=3x^3-2x^2+x-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=x\sin{x}\\ b)g(x)=\sin^2{x}\\ c)h(x)=x\sqrt{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}$
c) $f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}$
c) $f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Funkcja $f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. $f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}$
B. $f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}$
C. $f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}$
D. $f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}$

Pokaż rozwiązanie zadania