Zadanie - pochodna ilorazu funkcji

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:

Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}\).

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.

\(f'(x)=\frac{(\sqrt[5]{x})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot (10x^8)'}{(10x^8)^2}=\frac{(x^{\frac{1}{5}})'\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\frac{\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}\cdot 10x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\)

W obu zaznaczonych fragmentach zastosowano wzór:

czyli kolejno:

\((\sqrt[5]{x})'=(x^{\frac{1}{5}})'=\frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1}=\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{5}\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\)

oraz

\((10x^8)'=10\cdot 8x^{8-1}=80x^7\)

Po uwzględnieniu powyższych rachunków mamy:

\(=\frac{\frac{1}{\cancel{5}}\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\cdot \cancel{10}^{2}x^8-\sqrt[5]{x}\cdot 80x^7}{100x^{16}}=\frac{2x^8\frac{1}{\sqrt[5]{x}}- 80x^7\sqrt[5]{x}}{100x^{16}}=\)

W liczniku wyciągniemy przed nawias czynnik \(2x^7\):

\(=\frac{\cancel{2x^7}(\frac{x}{\sqrt[5]{x}}- 40\sqrt[5]{x})}{\cancel{100}_{50}x^{\cancel{16}^{9}}}=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}-40\sqrt[5]{x}}{50x^9}=\)

Wykonujemy teraz odejmowanie w liczniku ułamka, sprowadzając liczby do wspólnego mianownika:

\(=\frac{\frac{x}{\sqrt[5]{x^4}}-40\sqrt[5]{x}\cdot \frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\frac{\frac{x-40x}{\sqrt[5]{x^4}}}{50x^9}=\frac{-39x}{50x^9\sqrt[5]{x^4}}=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}}\)

Wyjaśnienia może jeszcze wymagać fragment:

\(\sqrt[5]{x}\cdot \sqrt[5]{x^4}=x^{\frac{1}{5}}\cdot x^{\frac{4}{5}}=x^{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}}=x^1=x\)

Skorzystaliśmy tutaj z własności działań na potęgach.

Alternatywne rozwiązanie.

Możemy też inaczej podejść do zadania. Najpierw wykonamy działania na potęgach, a potem obliczymy pochodną:

\(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}=\frac{1}{10}\cdot x^{\frac{1}{5}}:x^8=\frac{1}{10}x^{\frac{1}{5}-8}=\frac{1}{10}x^{-\frac{39}{5}}\)

\(f'(x)=(\frac{1}{10}x^{-\frac{39}{5}})'=\frac{1}{10}\cdot(-\frac{39}{5}x^{\frac{-44}{5}})=\frac{-39}{50x^{\frac{44}{5}}}=\frac{-39}{50x^{8+\frac{4}{5}}}=\frac{-39}{50x^8\sqrt[5]{x^4}}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-09-12, ZAD-901

Zadania podobne

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=-x^2+x-1\) w punkcie \(x_0=-1\).

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=x^2\) w punkcie \(x_0\).

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x+1}\) w punkcie \(x_0=0\).

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=|x|\) w punkcie \(x_0=0\).

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0=0\).

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=|x|\) w punkcie \(x_0=0\).

Obliczyć pochodną funkcji

\(a) f(x)=-\frac{1}{2}\)

\(b) g(x)=x^{17}\)

\(c) h(x)=x^{\frac{1}{3}}\)

\( d) i(x)=x\)

\( e) j(x)=\sqrt{2}\)

Obliczyć pochodną funkcji:

\(a) f(x)=-x+5\)

\(b) g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)

\( c) h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)

\( d) i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)

\( e) j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)

Obliczyć pochodną funkcji:

\(a) f(x)=x\sin{x}\)

\(b) g(x)=\sin^2{x}\)

\(c) h(x)=x\sqrt{x}\)

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\)

b) \(f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}\)

c) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\)

b) \(f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}\)

c) \(f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}\)

Funkcja \(f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)

B. \(f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}\)

C. \(f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}\)

D. \(f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}\)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa

A. \(\frac{3}{4}\)

B. \(\frac{9}{4}\)

C. 3

D. \(\frac{54}{8}\)