Nauka » Matematyka » Obliczanie pochodnych

Zadanie - pochodna funkcji

Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-x+5\\ b)g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\\ c)h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\\ d)i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\\ e)j(x)=3x^3-2x^2+x-1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a) f'(x)=-1\\ b)g'(x)=-10x+\frac{1}{\sqrt{x}}\\ c)h'(x)=\cos{x}-2\sin{x}\\ d)i'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\cos^2{x}}\\ e)j'(x)=9x^2-4x+1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

We wszystkich podpunktach będziemy korzystać ze wzorów na obliczanie pochodnej sumy i różnicy funkcji:

$[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)\\ [f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)$

Możemy więc obliczać niezależnie pochodne składników sumy i różnicy. Prawie w każdym przypadku przyda się także wzór:

$[c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)$

który pozwoli nam wyłączyć stałą przed pochodną funkcji.

b) $g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}$

Skorzystamy ze wzorów:

$(x^n)'=nx^{n-1}\\ (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Wyłączając stałą przed pochodną funkcji mamy:

$g'(x)=-5(x^2)'+2(\sqrt{x})'=-5\cdot 2x^{2-1}+\cancel{2}\cdot \frac{1}{\cancel{2}\sqrt{x}}=-10x+\frac{1}{\sqrt{x}}$

c) $h(x)=\sin{x}+2\cos{x}$

Skorzystamy ze wzorów:

$(\sin{x})'=\cos{x}\\ (\cos{x})'=-\sin{x}$

Mamy więc:

$h'(x)=(\sin{x})'+2(\cos{x})'=\cos{x}-2\sin{x}$

d) $i(x)=-\frac{1}{x}-tgx$

Skorzystamy ze wzorów:

$(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}\\ (tgx)'=\frac{1}{\cos^2{x}}$

Mamy więc:

$i'(x)=-(-\frac{1}{x^2})-\frac{1}{\cos^2{x}}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\cos^2{x}}$

Skorzystamy ze wzoru:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Wyłączając stałą przed pochodną funkcji mamy:

$j'(x)=3(x^3)'-2(x^2)'+(x)'-(1)'=\\ =3\cdot 3x^{3-1}-2\cdot 2x^{2-1}+1\cdot x^{1-1}-0=9x^2-4x+1$

Zadania podobne

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-\frac{1}{2}\\ b)g(x)=x^{17}\\ c)h(x)=x^{\frac{1}{3}}\\ d)i(x)=x\\ e)j(x)=\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=x\sin{x}\\ b)g(x)=\sin^2{x}\\ c)h(x)=x\sqrt{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}$
c) $f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}$
c) $f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Funkcja $f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. $f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}$
B. $f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}$
C. $f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}$
D. $f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.