Nauka » Matematyka » Obliczanie pochodnych

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji

Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}$
c) $f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}$

a) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Dana jest funkcja $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.

$f'(x)=\frac{(\sqrt{x})'\cdot x-\sqrt{x}\cdot (x)'}{x^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x-\sqrt{x}\cdot 1}{x^2}=\frac{\frac{x}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{x^2}=$ tło

W liczniku jest ułamek (zaznaczony na niebiesko), w którym mamy niewymierność w mianowniku. Pozbędziemy się jej mnożąc licznik i mianownik tego ułamka przez pierwiastek z x (możemy to zrobić, bo x nie może być zerem ze względu na dziedzinę funkcji):

$=\frac{\frac{x\cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}-\sqrt{x}}{x^2}=\frac{\frac{\cancel{x}\sqrt{x}}{2\cancel{x}}-\sqrt{x}}{x^2}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{x}-\sqrt{x}}{x^2}=\frac{\sqrt{x}(\frac{1}{2}-1)}{x^2}=\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{x}}{x^2}=-\frac{\sqrt{x}}{2x^2}$

Odpowiedź

$f'(x)=-\frac{\sqrt{x}}{2x^2}$

b) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Dana jest funkcja $f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}$

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.

$f'(x)=\frac{(5x^3-x+1)'(x^2-1)-(5x^3-x+1)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}=\frac{(15x^2-1)(x^2-1)-(5x^3-x+1)\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=$ tło

Oprócz wzoru na pochodną sumy i różnicy funkcji (która jest równa odpowiednio sumie i różnicy pochodnej funkcji) w obu zaznaczonych fragmentach zastosowano wzór:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

czyli kolejno dla fragmentu zaznaczonego na żółto:

$(5x^3-x+1)'=(5x^3)'-(x)'+(1)'=5\cdot 3x^{3-1}-1\cdot x^{1-1}+0=15x^2-1$

oraz dla fragmentu zaznaczonego kolorem fioletowym

$(x^2-1)'=(x^2)'-(1)'=2x^{2-1}-0=2x$

Wykonujemy kolejno działania:

$=\frac{15x^4-15x^2-x^2+1-10x^4+2x^2-2x}{(x^2-1)^2}=\frac{5x^4-14x^2-2x+1}{(x^2-1)^2}$

Odpowiedź

$f'(x)=\frac{5x^4-14x^2-2x+1}{(x^2-1)^2}$

c) Rozwiązanie zadania

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną ilorazu funkcji:

$(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Mamy więc:

$f'(x)=\frac{(5x^4-3x^2)'(2x^3-1)-(5x^4-3x^2)(2x^3-1)'}{(2x^3-1)^2}=$ tło

Obliczamy pochodną wyrażenia zaznaczonego kolorem żółtym

$f(x)=5x^4-3x^2\\ f'(x)=5\cdot 4\cdot x^{4-1}-3\cdot 2\cdot x^{2-1}=20x^3-6x$

Obliczamy pochodną wyrażenia zaznaczonego kolorem fioletowym

$f(x)=2x^3-1\\ f'(x)=2\cdot 3x^(3-1)-0=6x^2$

Mamy więc:

$=\frac{(20x^3-6x)(2x^3-1)-(5x^4-3x^2)\cdot 6x^2}{(2x^3-1)^2}=\\ \frac{40x^6-20x^3-12x^4+6x-30x^6+18x^4}{(2x^3-1)^2}=\\ =\frac{10x^6+6x^4-20x^3+6x}{(2x^3-1)^2}$

Odpowiedź

$f'(x)=\frac{10x^6+6x^4-20x^3+6x}{(2x^3-1)^2}$

Zadania podobne

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-\frac{1}{2}\\ b)g(x)=x^{17}\\ c)h(x)=x^{\frac{1}{3}}\\ d)i(x)=x\\ e)j(x)=\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-x+5\\ b)g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\\ c)h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\\ d)i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\\ e)j(x)=3x^3-2x^2+x-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=x\sin{x}\\ b)g(x)=\sin^2{x}\\ c)h(x)=x\sqrt{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}$
c) $f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Funkcja $f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. $f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}$
B. $f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}$
C. $f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}$
D. $f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}$

Pokaż rozwiązanie zadania