Logo Media Nauka

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji

Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}
b) f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}
c) f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}

ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:

[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Dana jest funkcja f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.

f'(x)=\frac{(\sqrt{x})'\cdot x-\sqrt{x}\cdot (x)'}{x^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x-\sqrt{x}\cdot 1}{x^2}=\frac{\frac{x}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{x^2}= tło tło tło tło tło

W liczniku jest ułamek (zaznaczony na niebiesko), w którym mamy niewymierność w mianowniku. Pozbędziemy się jej mnożąc licznik i mianownik tego ułamka przez pierwiastek z x (możemy to zrobić, bo x nie może być zerem ze względu na dziedzinę funkcji):

=\frac{\frac{x\cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}-\sqrt{x}}{x^2}=\frac{\frac{\cancel{x}\sqrt{x}}{2\cancel{x}}-\sqrt{x}}{x^2}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{x}-\sqrt{x}}{x^2}=\frac{\sqrt{x}(\frac{1}{2}-1)}{x^2}=\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{x}}{x^2}=-\frac{\sqrt{x}}{2x^2}

ksiązki Odpowiedź

f'(x)=-\frac{\sqrt{x}}{2x^2}

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:

[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Dana jest funkcja f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.

f'(x)=\frac{(5x^3-x+1)'(x^2-1)-(5x^3-x+1)(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}=\frac{(15x^2-1)(x^2-1)-(5x^3-x+1)\cdot 2x}{(x^2-1)^2}= tło tło tło tło

Oprócz wzoru na pochodną sumy i różnicy funkcji (która jest równa odpowiednio sumie i różnicy pochodnej funkcji) w obu zaznaczonych fragmentach zastosowano wzór:

(x^n)'=nx^{n-1}

czyli kolejno dla fragmentu zaznaczonego na żółto:

(5x^3-x+1)'=(5x^3)'-(x)'+(1)'=5\cdot 3x^{3-1}-1\cdot x^{1-1}+0=15x^2-1

oraz dla fragmentu zaznaczonego kolorem fioletowym

(x^2-1)'=(x^2)'-(1)'=2x^{2-1}-0=2x

Wykonujemy kolejno działania:

=\frac{15x^4-15x^2-x^2+1-10x^4+2x^2-2x}{(x^2-1)^2}=\frac{5x^4-14x^2-2x+1}{(x^2-1)^2}

ksiązki Odpowiedź

f'(x)=\frac{5x^4-14x^2-2x+1}{(x^2-1)^2}

ksiązki c) Rozwiązanie zadania

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji. Stosujemy więc w pierwszej kolejności wzór na pochodną ilorazu funkcji:

(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Mamy więc:

f'(x)=\frac{(5x^4-3x^2)'(2x^3-1)-(5x^4-3x^2)(2x^3-1)'}{(2x^3-1)^2}= tło tło

Obliczamy pochodną wyrażenia zaznaczonego kolorem żółtym

f(x)=5x^4-3x^2\\ f'(x)=5\cdot 4\cdot x^{4-1}-3\cdot 2\cdot x^{2-1}=20x^3-6x

Obliczamy pochodną wyrażenia zaznaczonego kolorem fioletowym

f(x)=2x^3-1\\ f'(x)=2\cdot 3x^(3-1)-0=6x^2

Mamy więc:

=\frac{(20x^3-6x)(2x^3-1)-(5x^4-3x^2)\cdot 6x^2}{(2x^3-1)^2}=\\ \frac{40x^6-20x^3-12x^4+6x-30x^6+18x^4}{(2x^3-1)^2}=\\ =\frac{10x^6+6x^4-20x^3+6x}{(2x^3-1)^2}

ksiązki Odpowiedź

f'(x)=\frac{10x^6+6x^4-20x^3+6x}{(2x^3-1)^2}

© medianauka.pl, 2010-09-09, ZAD-900



Zadania podobne

kulkaZadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=-\frac{1}{2}\\ b)g(x)=x^{17}\\ c)h(x)=x^{\frac{1}{3}}\\ d)i(x)=x\\ e)j(x)=\sqrt{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=-x+5\\ b)g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\\ c)h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\\ d)i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\\ e)j(x)=3x^3-2x^2+x-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=x\sin{x}\\ b)g(x)=\sin^2{x}\\ c)h(x)=x\sqrt{x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\frac{\sin{x}}{x}
b) f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}
c) f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Funkcja f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4} jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}
B. f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}
C. f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}
D. f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}


Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.