Nauka » Matematyka » Obliczanie pochodnych

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji

Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}$
c) $f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

a) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Dana jest funkcja $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji (y=sinx i y=x). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.

$f'(x)=\frac{(\sin{x})'\cdot x-\sin{x}\cdot (x)'}{x^2}=\frac{\cos{x}\cdot x-\sin{x}\cdot 1}{x^2}=\frac{x\cos{x}-\sin{x}}{x^2}$ tło

Odpowiedź

$f'(x)=\frac{x\cos{x}-\sin{x}}{x^2}$

b) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Dana jest funkcja $f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}$

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji (y=2x+1 i y=3x-1). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.

$f'(x)=\frac{(2x+1)'(3x-1)-(2x+1)(3x-1)'}{(3x-1)^2}=\frac{2(3x-1)-3(2x+1)}{(3x-1)^2}=\\ =\frac{\cancel{6x}-2-\cancel{6x}-3}{(3x-1)^2}=\frac{-5}{(3x-1)^2}$ tło

Odpowiedź

$f'(x)=\frac{-5}{(3x-1)^2}$

c) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu funkcji:

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Dana jest funkcja $f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

Mamy tu do czynienia z ilorazem dwóch funkcji (y=sinx i y=cosx). Postępujemy więc zgodnie z przytoczonym wyżej wzorem.

$f'(x)=\frac{(\sin{x})'\cos{x}-\sin{x}(\cos{x})'}{\cos^2{x}}=\frac{\cos{x}\cdot \cos{x}-\sin{x}\cdot (-\sin{x})}{\cos^2{x}}=$ tło

W liczniku mamy do czynienia z wzorem jedynkowym:

$=\frac{\cos^2{x}+\sin^2{x}}{\cos^2{x}}=\frac{1}{\cos^2{x}}$

Alternatywny, prostszy sposób:

$(\frac{\sin{x}}{\cos{x}})'=(tgx)'=\frac{1}{\cos^2{x}}$

Odpowiedź

$f'(x)=\frac{1}{\cos^2{x}}$

Zadania podobne

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-\frac{1}{2}\\ b)g(x)=x^{17}\\ c)h(x)=x^{\frac{1}{3}}\\ d)i(x)=x\\ e)j(x)=\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=-x+5\\ b)g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\\ c)h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\\ d)i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\\ e)j(x)=3x^3-2x^2+x-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$a) f(x)=x\sin{x}\\ b)g(x)=\sin^2{x}\\ c)h(x)=x\sqrt{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$
b) $f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}$
c) $f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
$f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Funkcja $f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. $f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}$
B. $f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}$
C. $f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}$
D. $f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}$

Pokaż rozwiązanie zadania