Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Treść zadania:
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x+1}\) w punkcie \(x_0=0\).
Rozwiązanie zadania
Obliczamy wartość funkcji w punkcie \(x_0=0\).
Wartość funkcji w tym punkcie obliczymy, podstawiając liczbę \(0\) do wzoru funkcji za \(x\).
\(f(x_0)=f(0)=\frac{1}{0+1}=1\)
Obliczamy wartość funkcji w punkcie \(x_0+h=0+h=h\) (mamy tutaj przyrost argumentu funkcji i badamy jak zmieni się wartość funkcji). Wartość funkcji w tym punkcie obliczymy, podstawiając liczbę \(x_0+h\) do wzoru funkcji za \(x\).
\(f(x_0+h)=f(h)=\frac{1}{h+1}\)
Możemy przystąpić do obliczenia pochodnej funkcji w punkcie, korzystając ze wzoru:
Podstawiamy wyliczone wcześniej wartości funkcji do powyższego wzoru:
\(f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{1}{h+1}-1}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{1}{h+1}-\frac{h+1}{h+1}}{h}}=\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{1-h-1}{h+1}}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{-\cancel{h}}{h+1}}{\cancel{h}}}=\lim_{h\to 0}{\frac{-1}{h+1}}=\frac{-1}{0+1}=-1\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-04, ZAD-888
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=-x^2+x-1\) w punkcie \(x_0=-1\).
Zadanie nr 4.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 6.
Obliczyć pochodną funkcji
\(a) f(x)=-\frac{1}{2}\)
\(b) g(x)=x^{17}\)
\(c) h(x)=x^{\frac{1}{3}}\)
\( d) i(x)=x\)
\( e) j(x)=\sqrt{2}\)
Zadanie nr 7.
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=-x+5\)
\(b) g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)
\( c) h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)
\( d) i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)
\( e) j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)
Zadanie nr 8.
Obliczyć pochodną funkcji:
\(a) f(x)=x\sin{x}\)
\(b) g(x)=\sin^2{x}\)
\(c) h(x)=x\sqrt{x}\)
Zadanie nr 9.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}\)
c) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)
Zadanie nr 10.
Obliczyć pochodną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\)
b) \(f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}\)
c) \(f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}\)
Zadanie nr 11.
Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Funkcja \(f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:
A. \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)
B. \(f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}\)
C. \(f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}\)
D. \(f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa
A. \(\frac{3}{4}\)
B. \(\frac{9}{4}\)
C. 3
D. \(\frac{54}{8}\)