Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji

Zadanie - pochodna funkcji w punkcie

Obliczyć pochodną funkcji $f(x)=\frac{1}{x+1}$ w punkcie x₀=0

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f(x_0)=f(0)=\frac{1}{0+1}=1 \\ f(x_0+h)=f(0+h)=f(h)=\frac{1}{h+1}\\ f'(x_0)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{1}{h+1}-1}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{1}{h+1}-\frac{h+1}{h+1}}{h}}=\\ =\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{1-h-1}{h+1}}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{-\cancel{h}}{h+1}}{\cancel{h}}}=\lim_{h\to 0}{\frac{-1}{h+1}}=\frac{-1}{0+1}=-1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x₀=0.

Wartość funkcji w tym punkcie obliczymy, podstawiając liczbę 0 do wzoru funkcji za x.

$f(x_0)=f(0)=\frac{1}{0+1}=1$ tło

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x₀+h=0+h=h (mamy tutaj przyrost argumentu funkcji i badamy jak zmieni się wartość funkcji). Wartość funkcji w tym punkcie obliczymy, podstawiając liczbę x₀+h do wzoru funkcji za x.

$f(x_0+h)=f(h)=\frac{1}{h+1}$ tło

Możemy przystąpić do obliczenia pochodnej funkcji w punkcie, korzystając ze wzoru:

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$

Podstawiamy wyliczone wcześniej wartości funkcji do powyższego wzoru:

$f'(0)=\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{1}{h+1}-1}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{1}{h+1}-\frac{h+1}{h+1}}{h}}=\\ =\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{1-h-1}{h+1}}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{\frac{-\cancel{h}}{h+1}}{\cancel{h}}}=\lim_{h\to 0}{\frac{-1}{h+1}}=\frac{-1}{0+1}=-1$ tło

Odpowiedź

Pochodna funkcji f(x) w punkcie x₀=0 jest równa -1.

Zadania podobne

Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=-x²+x-1 w punkcie x₀=-1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji f(x)=x² w punkcie x₀

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - różniczkowalność funkcji
Obliczyć pochodną funkcji

w punkcie x₀=0

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji w punkcie
Obliczyć pochodną funkcji $f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}$ w punkcie x₀=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - różniczkowalność funkcji
Obliczyć pochodną funkcji

w punkcie x₀=0

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.