Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - pochodna funkcji

Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=x\sin{x}\\ b)g(x)=\sin^2{x}\\ c)h(x)=x\sqrt{x}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a) f'(x)=(x)'\cdot \sin{x}+x(\sin{x})'=\sin{x}+x\cos{x}\\ b)g'(x)=(\sin{x}\cdot \sin{x})'=(\sin{x})'\sin{x}+\sin{x}(\sin{x})'=\cos{x}\sin{x}+\sin{x}\cos{x}=2\sin{x}\cos{x}\\ c)h'(x)=(x)'\sqrt{x}+x(\sqrt{x})'=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

We wszystkich podpunktach będziemy korzystać ze wzorów na obliczanie pochodnej iloczynu funkcji:

[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

a) f(x)=x\sin{x}=x\cdot \sin{x}

Mamy tu do czynienia z iloczynem dwóch funkcji (y=x i y=sinx).Zgodnie ze wzorem mnożymy pochodną pierwszej funkcji przez drugą funkcję i dodajemy do iloczynu pierwszej funkcji przez pochodną drugiej funkcji.

f'(x)=(x)'\cdot \sin{x}+x(\sin{x})'=1\cdot \sin{x}+x\cos{x}=\sin{x}+x\cos{x}

b) g(x)=\sin^2{x}=\sin{x}\cdot \sin{x}

Mamy tu do czynienia również z iloczynem dwóch funkcji (y=sinx i y=sinx).Zgodnie ze wzorem mnożymy pochodną pierwszej funkcji przez drugą funkcję i dodajemy do iloczynu pierwszej funkcji przez pochodną drugiej funkcji.

g'(x)=(\sin{x}\cdot \sin{x})'=(\sin{x})'\sin{x}+\sin{x}(\sin{x})'=\\ =\cos{x}\sin{x}+\sin{x}\cos{x}=2\sin{x}\cos{x}

c) h(x)=x\sqrt{x}=x\cdot \sqrt{x}

Postępujemy tutaj analogicznie jak w dwóch powyższych przykładach.

h'(x)=(x)'\sqrt{x}+x(\sqrt{x})'=1\cdot \sqrt{x}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}

© medianauka.pl, 2010-09-08, ZAD-896





Zadania podobne

kulkaZadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=-\frac{1}{2}\\ b)g(x)=x^{17}\\ c)h(x)=x^{\frac{1}{3}}\\ d)i(x)=x\\ e)j(x)=\sqrt{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pochodna funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
a) f(x)=-x+5\\ b)g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\\ c)h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\\ d)i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\\ e)j(x)=3x^3-2x^2+x-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\frac{\sin{x}}{x}
b) f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}
c) f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji:
a) f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}
b) f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}
c) f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - pochodna ilorazu funkcji
Obliczyć pochodną funkcji
f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Funkcja f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4} jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}
B. f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}
C. f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}
D. f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}


Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.