Pochodna a monotoniczność funkcji

Istnieje związek pomiędzy pochodną funkcji a jej monotonicznością. Określają je następujące twierdzenia:

Twierdzenie

Jeżeli funkcja \(f\) jest określona i różniczkowalna w przedziale \((a,b)\) oraz jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału dodatnia z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja \(f\) jest w przedziale \((a,b)\) różniczkowalna i rosnąca, to \(f'(x)\geq 0\), dla każdego \(x\in(a,b)\).

Twierdzenie

Jeżeli funkcja \(f\) jest określona i różniczkowalna w przedziale \((a,b)\) oraz jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału ujemna z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale malejąca.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja \(f\) jest w przedziale \((a,b)\) różniczkowalna i malejąca, to \(f'(x)\leq 0\), dla każdego \(x\in(a,b)\).

Podsumowanie

Warto zapamiętać, że:

Jeżeli funkcja \(f(x)\) jest różniczkowalna w przedziale \((a,b)\), czyli ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału oraz:

\(\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)=0\), to funkcja jest stała w tym przedziale.
\(\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)>0\), to funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
\(\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)<0\), to funkcja jest malejąca w tym przedziale.

Mówiąc krótko, aby sprawdzić, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca w danym przedziale, należy zbadać znak pochodnej. Zobaczmy to na przykładzie.