Pochodna a monotoniczność funkcji

Istnieje związek pomiędzy pochodną funkcji a jej monotonicznością. Określają je twierdzenia:

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) oraz jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału dodatnia z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest w przedziale (a,b) różniczkowalna i rosnąca , to $f'(x)\geq 0, \ dla\ kazdego\ x\in(a,b)$ .

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) oraz jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału ujemna z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale malejąca.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest w przedziale (a,b) różniczkowalna i malejąca , to $f'(x)\leq 0,\ dla\ kazdego\ x\in(a,b)$ .

Warto zapamiętać, że:

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w przedziale (a,b), czyli ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału oraz:

1) $\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)=0$ , to funkcja jest stała w tym przedziale.
2) $\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)>0$ , to funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
3) $\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)<0$ , to funkcja jest malejąca w tym przedziale.

Mówiąc krótko, aby sprawdzić czy funkcja jest rosnąca czy malejąca w danym przedziale należy zbadać znak pochodnej. Zobaczmy to na przykładzie:

Przykład