Pochodna a monotoniczność funkcji

Istnieje związek pomiędzy pochodną funkcji a jej monotonicznością. Określają je twierdzenia:

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) oraz jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału dodatnia z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest w przedziale (a,b) różniczkowalna i rosnąca , to $f'(x)\geq 0, \ dla\ kazdego\ x\in(a,b)$ .

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) oraz jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału ujemna z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale malejąca.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest w przedziale (a,b) różniczkowalna i malejąca , to $f'(x)\leq 0,\ dla\ kazdego\ x\in(a,b)$ .

Warto zapamiętać, że:

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w przedziale (a,b), czyli ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału oraz:

1) $\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)=0$ , to funkcja jest stała w tym przedziale.
2) $\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)>0$ , to funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
3) $\bigwedge\limits_{x\in (a,b)} f'(x)<0$ , to funkcja jest malejąca w tym przedziale.

Mówiąc krótko, aby sprawdzić czy funkcja jest rosnąca czy malejąca w danym przedziale należy zbadać znak pochodnej. Zobaczmy to na przykładzie:

Przykład

Wyznaczymy przedziały monotoniczności (czyli przedziały w których funkcja jest rosnąca lub malejąca lub stała) funkcji f(x)=x²

Obliczamy pochodną funkcji f(x):

i badamy, kiedy pochodna jest dodatnia:

$f'(x)>0\Leftrightarrow 2x>0 \Leftrightarrow x>0$

oraz badamy, kiedy pochodna jest ujemna:

$f'(x)<0\Leftrightarrow 2x<0 \Leftrightarrow x<0$

Wiemy więc, że dla x>0 funkcja jest rosnąca, natomiast dla x<0 funkcja jest malejąca.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Pochodna a monotoniczność funkcji

Zadanie - monotoniczność funkcji a pochodna
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - monotoniczność a pochodna funkcji
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji a monotoniczność
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=x^2+\frac{2}{x}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - monotoniczność funkcji a jej pochodna
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\sqrt{2}+1$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie stycznej do krzywej
Styczna do krzywej y=f(x) w punkcie A(x0,f(x0)) określona jest równaniem: y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)

Pochodna funkcji a ekstremum
Jeżeli pochodna przy przejściu zmiennej x przez punkt x0 zmienia znak z ujemnego na dodatni, to funkcja f(x) osiąga minimum w tym punkcie.

Największa i najmniejsza wartość funkcji
Jak wyznaczyć ekstremum globalne w przedziale otwartym?

Pochodna w zadaniach z treścią
Zastosowanie pochodnej w zadaniach z treścią

Test wiedzy