Pochodna a monotoniczność funkcji
Istnieje związek pomiędzy pochodną funkcji a jej monotonicznością. Określają je twierdzenia:
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) oraz jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału dodatnia z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f jest w przedziale (a,b) różniczkowalna i rosnąca , to .
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) oraz jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału ujemna z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale malejąca.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f jest w przedziale (a,b) różniczkowalna i malejąca , to .
Warto zapamiętać, że:
Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w przedziale (a,b), czyli ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału oraz:
1)
2)

3)

Mówiąc krótko, aby sprawdzić czy funkcja jest rosnąca czy malejąca w danym przedziale należy zbadać znak pochodnej. Zobaczmy to na przykładzie:
Przykład
Wyznaczymy przedziały monotoniczności (czyli przedziały w których funkcja jest rosnąca lub malejąca lub stała) funkcji f(x)=x2
Obliczamy pochodną funkcji f(x):
i badamy, kiedy pochodna jest dodatnia:
oraz badamy, kiedy pochodna jest ujemna:
Wiemy więc, że dla x>0 funkcja jest rosnąca, natomiast dla x<0 funkcja jest malejąca.
Zadania z rozwiązaniami
Inne zagadnienia z tej lekcji
Równanie stycznej do krzywej

Styczna do krzywej y=f(x) w punkcie A(x0,f(x0)) określona jest równaniem: y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)
Pochodna funkcji a ekstremum

Jeżeli pochodna przy przejściu zmiennej x przez punkt x0 zmienia znak z ujemnego na dodatni, to funkcja f(x) osiąga minimum w tym punkcie.
© medianauka.pl, 2010-09-21, ART-926