Asymptoty wykresu funkcji

Asymptota jest to prosta, do której coraz bardziej "zbliża się" wykres pewnej funkcji. W dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą.
Rysunek przedstawia wykres, który posiada asymptotę tak zwaną pionową. Jest to prosta o równaniu x=-2 zaznaczona przerywaną niebieską linią, ale posiada także asymptotę poziomą o równaniu y=-3, zaznaczoną kolorem zielonym.
Pamiętać należy, że asymptoty nie są częścią wykresu, stanowią jedynie linie pomocnicze przy jego szkicowaniu.
Asymptota pozioma
Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale
i istnieje granica
to prostą o równaniu
nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji w plus nieskończoności.
Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale i istnieje granica
to prostą o równaniu
nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji w minus nieskończoności.
Jeśli asymptota pozioma w plus i minus nieskończoności ma to samo równanie, to nazywamy ją asymptotą obustronną.
Asymptota pionowa
Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale
i
, to prostą o równaniu
nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji prawostronną.
Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale i
, to prostą o równaniu
nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji lewostronną.
Jeśli asymptota pozioma lewostronna i prawostronna opisana jest tym samym równaniem, to nazywamy ją asymptotą obustronną.
Asymptota ukośna (pochyła)
Wykres może również posiadać asymptotę ukośną prawostronną i lewostronną
Jeżeli istnieją skończone granice:
lub
to prosta o równaniu
jest asymptotą ukośną prawostronną w pierwszym i lewostronną w drugim przypadku.
Jeżeli powyższe granice nie istnieją, funkcja nie posiada asymptoty pochyłej.
Szczególnym przypadkiem jest a=0. Wówczas asymptota ukośna staje się asymptotą poziomą.
Zadania z rozwiązaniami
© medianauka.pl, 2010-09-26, ART-939