Asymptoty wykresu funkcji

Asymptota jest to prosta, do której coraz bardziej "zbliża się" wykres pewnej funkcji. W dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą.

Rysunek przedstawia wykres, który posiada asymptotę tak zwaną pionową. Jest to prosta o równaniu x=-2 zaznaczona przerywaną niebieską linią, ale posiada także asymptotę poziomą o równaniu y=-3, zaznaczoną kolorem zielonym.

Pamiętać należy, że asymptoty nie są częścią wykresu, stanowią jedynie linie pomocnicze przy jego szkicowaniu.

Asymptota pozioma

Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale $(a;\infty)$ i istnieje granica $\lim_{x\to +\infty}{f(x)}$ to prostą o równaniu nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji w plus nieskończoności.

Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale $(-\infty;a)$ i istnieje granica $\lim_{x\to -\infty}{f(x)}$ to prostą o równaniu nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji w minus nieskończoności.

Jeśli asymptota pozioma w plus i minus nieskończoności ma to samo równanie, to nazywamy ją asymptotą obustronną.

Asymptota pionowa

Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale i $\lim_{x\to a^+}{f(x)}=\pm \infty$ , to prostą o równaniu nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji prawostronną.

Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale i $\lim_{x\to a^-}{f(x)}=\pm \infty$ , to prostą o równaniu nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji lewostronną.

Jeśli asymptota pozioma lewostronna i prawostronna opisana jest tym samym równaniem, to nazywamy ją asymptotą obustronną.

Asymptota ukośna (pochyła)

Wykres może również posiadać asymptotę ukośną prawostronną i lewostronną

Jeżeli istnieją skończone granice:

$\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=a, \ \lim_{x\to +\infty}{[f(x)-ax]}=b$

lub

$\lim_{x\to -\infty}{\frac{f(x)}{x}}=a, \ \lim_{x\to -\infty}{[f(x)-ax]}=b$

to prosta o równaniu jest asymptotą ukośną prawostronną w pierwszym i lewostronną w drugim przypadku.

Jeżeli powyższe granice nie istnieją, funkcja nie posiada asymptoty pochyłej.

Szczególnym przypadkiem jest a=0. Wówczas asymptota ukośna staje się asymptotą poziomą.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Asymptoty wykresu funkcji

Zadanie - asymptoty wykresu funkcji
Znaleźć asymptoty funkcji $f(x)=\frac{x^2-1}{4x^2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - asymptoty wykresu funkcji
Znaleźć asymptoty funkcji $f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}$

Pokaż rozwiązanie zadania