Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Asymptoty wykresu funkcji

asymptoty wykresu funkcji

Teoria Asymptota jest to prosta, do której coraz bardziej "zbliża się" wykres pewnej funkcji. W dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa się ze swoją asymptotą.

Rysunek przedstawia wykres, który posiada asymptotę tak zwaną pionową. Jest to prosta o równaniu x=-2 zaznaczona przerywaną niebieską linią, ale posiada także asymptotę poziomą o równaniu y=-3, zaznaczoną kolorem zielonym.

Pamiętać należy, że asymptoty nie są częścią wykresu, stanowią jedynie linie pomocnicze przy jego szkicowaniu.

Asymptota pozioma

Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale (a;\infty) i istnieje granica \lim_{x\to +\infty}{f(x)} to prostą o równaniu y=b nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji w plus nieskończoności.

Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale (-\infty;a) i istnieje granica \lim_{x\to -\infty}{f(x)} to prostą o równaniu y=b nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji w minus nieskończoności.

Jeśli asymptota pozioma w plus i minus nieskończoności ma to samo równanie, to nazywamy ją asymptotą obustronną.

Asymptota pionowa

Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale (a;b) i \lim_{x\to a^+}{f(x)}=\pm \infty, to prostą o równaniu x=a nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji prawostronną.

Jeżeli funkcja f(x) jest określona w przedziale (a;b) i \lim_{x\to a^-}{f(x)}=\pm \infty, to prostą o równaniu x=a nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji lewostronną.

Jeśli asymptota pozioma lewostronna i prawostronna opisana jest tym samym równaniem, to nazywamy ją asymptotą obustronną.

Asymptota ukośna (pochyła)

Wykres może również posiadać asymptotę ukośną prawostronną i lewostronną

Jeżeli istnieją skończone granice:

\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=a, \ \lim_{x\to +\infty}{[f(x)-ax]}=b

lub

\lim_{x\to -\infty}{\frac{f(x)}{x}}=a, \ \lim_{x\to -\infty}{[f(x)-ax]}=b

to prosta o równaniu y=ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną w pierwszym i lewostronną w drugim przypadku.

Jeżeli powyższe granice nie istnieją, funkcja nie posiada asymptoty pochyłej.

Szczególnym przypadkiem jest a=0. Wówczas asymptota ukośna staje się asymptotą poziomą.


© medianauka.pl, 2010-09-26, ART-939






Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - asymptoty wykresu funkcji
Znaleźć asymptoty funkcji f(x)=\frac{x^2-1}{4x^2}

zadanie-ikonka Zadanie - asymptoty wykresu funkcji
Znaleźć asymptoty funkcji f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.