Nauka » Matematyka » Asymptoty wykresu funkcji

Zadanie - asymptoty wykresu funkcji

Znaleźć asymptoty funkcji $f(x)=\frac{x^2-1}{4x^2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Szukamy w pierwszej kolejności asymptoty poziomej. Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności

$\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{x^2-1}{4x^2}}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{4}}=\frac{1-0}{4}=\frac{1}{4}$

Funkcja posiada asymptotę poziomą obustronną o równaniu: $y=\frac{1}{4}$

Szukamy asymptoty pionowej. Dziedziną naszej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjątkiem zera. W tym punkcie szukamy asymptoty. Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną w tym punkcie

$\lim_{x\to 0^+}{\frac{x^2-1}{4x^2}}=[\frac{-1}{0^+}]=-\infty\\ \lim_{x\to 0^-}{\frac{x^2-1}{4x^2}}=[\frac{-1}{0^+}]=-\infty$

Funkcja posiada asymptotę pionową obustronną o równaniu:

Teraz znajdziemy asymptotę pochyłą. W tym celu obliczamy:

$\frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{x^2-1}{4x^2}}{x}=\frac{x^2-1}{4x^3}$

oraz granicę

$\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{x^2-1}{4x^3}}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}}{4}}=\frac{0-0}{4}=0$

Ponieważ a=0 mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, asymptota pochyła przechodzi w asymptotę pozioma, a tę już wyznaczyliśmy wcześniej.