Zadanie - asymptoty wykresu funkcji

Rozwiązanie zadania

Szukamy w pierwszej kolejności asymptoty poziomej. Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności

\(\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{x^2-1}{4x^2}}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{4}}=\frac{1-0}{4}=\frac{1}{4}\)

Funkcja posiada asymptotę poziomą obustronną o równaniu: \(y=\frac{1}{4}\)

Szukamy asymptoty pionowej. Dziedziną naszej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjątkiem zera. W tym punkcie szukamy asymptoty. Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną w tym punkcie

\(\lim_{x\to 0^+}{\frac{x^2-1}{4x^2}}=[\frac{-1}{0^+}]=-\infty\)

\(\lim_{x\to 0^-}{\frac{x^2-1}{4x^2}}=[\frac{-1}{0^+}]=-\infty\)

Funkcja posiada asymptotę pionową obustronną o równaniu: \(x=0\)

Teraz znajdziemy asymptotę pochyłą. W tym celu obliczamy:

\(\frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{x^2-1}{4x^2}}{x}=\frac{x^2-1}{4x^3}\)

oraz granicę

\(\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{x^2-1}{4x^3}}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}}{4}}=\frac{0-0}{4}=0\)

Ponieważ \(a=0\) mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, asymptota pochyła przechodzi w asymptotę pozioma, a tę już wyznaczyliśmy wcześniej.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-09-26, ZAD-940

Zadania podobne

Znaleźć asymptoty funkcji \(f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}\).