Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - asymptoty wykresu funkcji


Znaleźć asymptoty funkcji f(x)=\frac{x^2-1}{4x^2}


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Szukamy w pierwszej kolejności asymptoty poziomej. Obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności

\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{x^2-1}{4x^2}}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{4}}=\frac{1-0}{4}=\frac{1}{4}

Funkcja posiada asymptotę poziomą obustronną o równaniu: y=\frac{1}{4}

Szukamy asymptoty pionowej. Dziedziną naszej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjątkiem zera. W tym punkcie szukamy asymptoty. Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną w tym punkcie

\lim_{x\to 0^+}{\frac{x^2-1}{4x^2}}=[\frac{-1}{0^+}]=-\infty\\ \lim_{x\to 0^-}{\frac{x^2-1}{4x^2}}=[\frac{-1}{0^+}]=-\infty

Funkcja posiada asymptotę pionową obustronną o równaniu: x=0

Teraz znajdziemy asymptotę pochyłą. W tym celu obliczamy:

\frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{x^2-1}{4x^2}}{x}=\frac{x^2-1}{4x^3}

oraz granicę

\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{x^2-1}{4x^3}}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}}{4}}=\frac{0-0}{4}=0

Ponieważ a=0 mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, asymptota pochyła przechodzi w asymptotę pozioma, a tę już wyznaczyliśmy wcześniej.

ksiązki Odpowiedź

Funkcja posiada asymptotę poziomą y=1/4 i asymptotę pionową x=0.

© medianauka.pl, 2010-09-26, ZAD-940





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.