Logo Serwisu Media Nauka


Granica funkcji w nieskończoności

Definicja Definicja

Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale (a;\infty).
Funkcja f(x) ma w nieskończoności granicę g (używamy zapisu \lim_{x\to \infty}{f(x)}=g ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału (a;\infty) rozbieżnego do nieskończoności, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g.

Definicja Definicja

Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale (-\infty;a).
Funkcja f(x) ma w minus nieskończoności granicę g (używamy zapisu \lim_{x\to -\infty}{f(x)}=g ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału (-\infty;a) rozbieżnego do minus nieskończoności, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g.

Przykład Przykład

Obliczyć: \lim_{x\to \infty}{\frac{x-2}{x}}
Niech x_n\neq 0, \lim_{n\to\infty}{x_n}=\infty
\lim_{x\to \infty}{\frac{x-2}{x}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{x_n-2}{x_n}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1-\frac{2}{x_n}}{1}=\frac{1-0}{1}=1

Teoria Przy obliczaniu granic w nieskończoności stosujemy następujące metody rachunkowe:

  • w przypadku, gdy obliczamy granicę wielomianu wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze,
  • w przypadku, gdy obliczamy granicę funkcji wymiernej wyłączamy przed nawias, w liczniku i mianowniku, zmienną w najwyższej potędze, w której występuje w mianowniku.

Warto tutaj pamiętać, że:
\lim_{x\to\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in R, \ n\in N
\lim_{x\to-\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in R, \ n\in N

Przykład Przykład

Obliczyć: \lim_{x\to \infty}{(x^3-2x^2+1)}
\lim_{x\to \infty}{(x^3-2x^2+1)}=\lim_{x\to \infty}{[x^3(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^3})]}=\infty

Przykład Przykład

Obliczyć: \lim_{x\to \infty}{\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}}
\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1-0+0}{1-0}=1


© Media Nauka, 2010-05-12, ART-855



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 446 - granica funkcji w nieskończoności
Obliczyć:
a) \lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}
b) \lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}

zadanie - ikonka Zadanie 448 - granica funkcji w nieskończoności
Obliczyć \lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy