Strona główna » Matematyka » Granica funkcji w punkcie niewłaściwym

Zadanie - granica funkcji w nieskończoności

Obliczyć:
a) $\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}$
b) $\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}$

a) Rozwiązanie zadania

Obliczamy granicę funkcji w punkcie niewłaściwym (minus nieskończoności). Mamy do czynienia z funkcją wymierną, więc w liczniku i mianowniku ułamka wyciągamy przed nawias niewiadomą w najwyższej potędze, występującej w mianowniku.

$\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}=\lim_{x\to -\infty}{\frac{x^3(2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3})}{x^3(\frac{2}{x^3}-1)}}=\\ =\lim_{x\to -\infty}{\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{\frac{2}{x^3}-1}}=$ tło

Znana jest granica: $\lim_{x\to-\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in R, \ n\in N$ , zatem granica wszystkich funkcji w liczniku i mianowniku w postaci $\frac{a}{x^n}$ (zaznaczono na żółto) jest liczba zero. Mamy więc:

$=\frac{\lim_{x\to -\infty}{2}-\lim_{x\to -\infty}{\frac{1}{x}}+\lim_{x\to -\infty}{\frac{3}{x^2}}-\lim_{x\to -\infty}{\frac{1}{x^3}}}{\lim_{x\to -\infty}{\frac{2}{x^3}}-\lim_{x\to -\infty}{1}}=\frac{2-0+0-0}{0-1}=-2$

Odpowiedź

$\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}=-2$

b) Rozwiązanie zadania

To zadanie rozwiązujemy analogicznie do poprzedniego podpunktu.

$\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}=\lim_{x\to\infty}{\frac{x^5(\frac{3}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^5})}{x^5(\frac{7}{x^5}-1)}}=\\ =\lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{3}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^5}}{\frac{7}{x^5}-1}}=$ tło

Znana jest granica: $\lim_{x\to\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in R, \ n\in N$ , zatem granica wszystkich funkcji w liczniku i mianowniku w postaci $\frac{a}{x^n}$ (zaznaczono na żółto) jest liczba zero. Mamy więc:

$=\frac{\lim_{x\to\infty}{\frac{3}{x^2}}+\lim_{x\to\infty}{\frac{3}{x^4}}-\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{x^5}}}{\lim_{x\to\infty}{\frac{7}{x^5}}-\lim_{x\to\infty}{1}}=\frac{0+0-0}{0-1}=0$