Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - granica funkcji w nieskończoności


Obliczyć:
a) \lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}
b) \lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}


ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Obliczamy granicę funkcji w punkcie niewłaściwym (minus nieskończoności). Mamy do czynienia z funkcją wymierną, więc w liczniku i mianowniku ułamka wyciągamy przed nawias niewiadomą w najwyższej potędze, występującej w mianowniku.

\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}=\lim_{x\to -\infty}{\frac{x^3(2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3})}{x^3(\frac{2}{x^3}-1)}}=\\ =\lim_{x\to -\infty}{\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{\frac{2}{x^3}-1}}= tło tło

Znana jest granica: \lim_{x\to-\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in R, \ n\in N, zatem granica wszystkich funkcji w liczniku i mianowniku w postaci \frac{a}{x^n} (zaznaczono na żółto) jest liczba zero. Mamy więc:

=\frac{\lim_{x\to -\infty}{2}-\lim_{x\to -\infty}{\frac{1}{x}}+\lim_{x\to -\infty}{\frac{3}{x^2}}-\lim_{x\to -\infty}{\frac{1}{x^3}}}{\lim_{x\to -\infty}{\frac{2}{x^3}}-\lim_{x\to -\infty}{1}}=\frac{2-0+0-0}{0-1}=-2

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}=-2

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

To zadanie rozwiązujemy analogicznie do poprzedniego podpunktu.

\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}=\lim_{x\to\infty}{\frac{x^5(\frac{3}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^5})}{x^5(\frac{7}{x^5}-1)}}=\\ =\lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{3}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^5}}{\frac{7}{x^5}-1}}= tło tło

Znana jest granica: \lim_{x\to\infty}{\frac{a}{x^n}}=0, \ a\in R, \ n\in N, zatem granica wszystkich funkcji w liczniku i mianowniku w postaci \frac{a}{x^n} (zaznaczono na żółto) jest liczba zero. Mamy więc:

=\frac{\lim_{x\to\infty}{\frac{3}{x^2}}+\lim_{x\to\infty}{\frac{3}{x^4}}-\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{x^5}}}{\lim_{x\to\infty}{\frac{7}{x^5}}-\lim_{x\to\infty}{1}}=\frac{0+0-0}{0-1}=0

ksiązki Odpowiedź

\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}=0

© medianauka.pl, 2010-05-12, ZAD-856





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.