Logo Media Nauka

Facebook

Zadanie - asymptoty wykresu funkcji


Znaleźć asymptoty funkcji f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Szukamy najpierw asymptoty poziomej, wobec tego obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności

\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^2-3}{x-2}}=\infty \\ \lim_{x\to -\infty}{\frac{x^2-3}{x-2}}=-\infty

Ponieważ nie istnieją skończone granice funkcji w plus i minus nieskończoności funkcja nie posiada asymptoty poziomej.

Szukamy asymptoty pionowej. Dziedziną naszej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjątkiem liczby 2. W tym punkcie szukamy asymptoty. Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną w tym punkcie

\lim_{x\to 2^+}{\frac{x^2-3}{x-2}}=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 2^-}{\frac{x^2-3}{x-2}}=[\frac{1}{0^-}]=-\infty

Funkcja posiada asymptotę pionową obustronną o równaniu: x=2

Teraz znajdziemy asymptotę pochyłą. W tym celu obliczamy:

\frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{x^2-3}{x-2}}{x}=\frac{x^2-3}{x(x-2)}=\frac{x^2-3}{x^2-2x}

oraz granicę

\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{x^2-3}{x^2-2x}}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{1-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}}=1

która jest równa współczynnikowi a równania asymptoty ukośnej. Ponieważ a=1, to mamy do czynienia z asymptotą ukośną. Wyznaczamy współczynnik b. Najpierw obliczamy:


f(x)-ax=\frac{x^2-3}{x-2}-1\cdot x=\frac{x^2-3}{x-2}-\frac{x(x-2)}{x-2}=\frac{x^2-3-x^2+2x}{x-2}=\frac{2x-3}{x-2}

oraz granicę:

\lim_{x\to \pm \infty}{[f(x)-ax]}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{2x-3}{x-2}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{2-\frac{2}{x}}{1-\frac{2}{x}}}}=2

która jest równa współczynnikowi b równania asymptoty pochyłej. Mamy więc równanie asymptoty ukośnej:

a=1\\ b=2\\ y=ax+b\\ y=x+2

Chociaż z treści zadania to nie wynika, sporządźmy wykres funkcji, aby zobrazować sobie asymptoty i krzywą

Asymptoty poziome

ksiązki Odpowiedź

Funkcja posiada asymptotę asymptotę pionową x=2 oraz pochyłą y=x+2.

© medianauka.pl, 2010-09-26, ZAD-941

Zadania podobne

kulkaZadanie - asymptoty wykresu funkcji
Znaleźć asymptoty funkcji f(x)=\frac{x^2-1}{4x^2}

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

laboratorium w szufladzie Matematyka
Rodzinna matematyka
Kalkulatory maukowe
Kubek matematyka pi
Kolorowe skarpetki 3D
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.