Zadanie - asymptoty wykresu funkcji
Treść zadania:
Znaleźć asymptoty funkcji \(f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}\).
Rozwiązanie zadania
Szukamy najpierw asymptoty poziomej, wobec tego obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności
\(\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^2-3}{x-2}}=\infty \)
\(\lim_{x\to -\infty}{\frac{x^2-3}{x-2}}=-\infty\)
Ponieważ nie istnieją skończone granice funkcji w plus i minus nieskończoności funkcja nie posiada asymptoty poziomej.
Szukamy asymptoty pionowej. Dziedziną naszej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjątkiem liczby 2. W tym punkcie szukamy asymptoty. Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną w tym punkcie
\(\lim_{x\to 2^+}{\frac{x^2-3}{x-2}}=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\)
\(\lim_{x\to 2^-}{\frac{x^2-3}{x-2}}=[\frac{1}{0^-}]=-\infty\)
Funkcja posiada asymptotę pionową obustronną o równaniu: \(x=2\)
Teraz znajdziemy asymptotę pochyłą. W tym celu obliczamy:
\(\frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{x^2-3}{x-2}}{x}=\frac{x^2-3}{x(x-2)}=\frac{x^2-3}{x^2-2x}\)
oraz granicę
\(\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}}{\frac{x^2-3}{x^2-2x}}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{1-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}}=1\)
która jest równa współczynnikowi a równania asymptoty ukośnej. Ponieważ \(a=1\), to mamy do czynienia z asymptotą ukośną. Wyznaczamy współczynnik \(b\). Najpierw obliczamy:
\(f(x)-ax=\frac{x^2-3}{x-2}-1\cdot x=\frac{x^2-3}{x-2}-\frac{x(x-2)}{x-2}=\frac{x^2-3-x^2+2x}{x-2}=\frac{2x-3}{x-2}\)
oraz granicę:
\(\lim_{x\to \pm \infty}{[f(x)-ax]}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{2x-3}{x-2}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{2-\frac{2}{x}}{1-\frac{2}{x}}}}=2\)
która jest równa współczynnikowi b równania asymptoty pochyłej. Mamy więc równanie asymptoty ukośnej:
\(a=1\)
\(b=2\)
\(y=ax+b\)
\(y=x+2\)
Chociaż z treści zadania to nie wynika, sporządźmy wykres funkcji, aby zobrazować sobie asymptoty i krzywą
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-26, ZAD-941
