Nauka » Matematyka » Asymptoty wykresu funkcji

Zadanie - asymptoty wykresu funkcji

Znaleźć asymptoty funkcji $f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Szukamy najpierw asymptoty poziomej, wobec tego obliczamy granicę funkcji w plus i minus nieskończoności

$\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^2-3}{x-2}}=\infty \\ \lim_{x\to -\infty}{\frac{x^2-3}{x-2}}=-\infty$

Ponieważ nie istnieją skończone granice funkcji w plus i minus nieskończoności funkcja nie posiada asymptoty poziomej.

Szukamy asymptoty pionowej. Dziedziną naszej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjątkiem liczby 2. W tym punkcie szukamy asymptoty. Obliczamy granicę prawostronną i lewostronną w tym punkcie

$\lim_{x\to 2^+}{\frac{x^2-3}{x-2}}=[\frac{1}{0^+}]=+\infty\\ \lim_{x\to 2^-}{\frac{x^2-3}{x-2}}=[\frac{1}{0^-}]=-\infty$

Funkcja posiada asymptotę pionową obustronną o równaniu: x=2

Teraz znajdziemy asymptotę pochyłą. W tym celu obliczamy:

$\frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{x^2-3}{x-2}}{x}=\frac{x^2-3}{x(x-2)}=\frac{x^2-3}{x^2-2x}$

oraz granicę

$\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{x^2-3}{x^2-2x}}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{1-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}}=1$

która jest równa współczynnikowi a równania asymptoty ukośnej. Ponieważ a=1, to mamy do czynienia z asymptotą ukośną. Wyznaczamy współczynnik b. Najpierw obliczamy:

$f(x)-ax=\frac{x^2-3}{x-2}-1\cdot x=\frac{x^2-3}{x-2}-\frac{x(x-2)}{x-2}=\frac{x^2-3-x^2+2x}{x-2}=\frac{2x-3}{x-2}$

oraz granicę:

$\lim_{x\to \pm \infty}{[f(x)-ax]}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{2x-3}{x-2}=\lim_{x\to \pm \infty}{\frac{2-\frac{2}{x}}{1-\frac{2}{x}}}}=2$

która jest równa współczynnikowi b równania asymptoty pochyłej. Mamy więc równanie asymptoty ukośnej:

$a=1\\ b=2\\ y=ax+b\\ y=x+2$

Chociaż z treści zadania to nie wynika, sporządźmy wykres funkcji, aby zobrazować sobie asymptoty i krzywą

Odpowiedź

Funkcja posiada asymptotę asymptotę pionową x=2 oraz pochyłą y=x+2.

Zadania podobne

Zadanie - asymptoty wykresu funkcji
Znaleźć asymptoty funkcji $f(x)=\frac{x^2-1}{4x^2}$

Pokaż rozwiązanie zadania