Zadanie - pochodna funkcji a monotoniczność


Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f(x)=x^2+\frac{2}{x}.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}

Funkcja jest rosnąca, gdy
f'(x)>0\\ 2x^3-2>0/:2\\ x^3-1>0 \\(x-1)(x^2+x+1)>0\\ x-1>0 \\ x>1

Funkcja jest malejąca, gdy
f'(x)<0\\ 2x^3-2<0/:2\\ x^3-1<0 \\(x-1)(x^2+x+1)<0\\ x-1<0 \\ x<1

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja f(x)=x^2+\frac{2}{x}

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji musimy znaleźć jej pochodną.

f'(x)=(x^2+\frac{2}{x})'=(x^2+2x^{-1})'=2x+2\cdot (-1)x^{-1-1}=2x-2x^{-2}=2x-\frac{2}{x^2}

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia. Mamy więc warunek:

f'(x)>0\\ 2x^2-\frac{2}{x^2}>0/:2\\ x-\frac{1}{x^2}>0\\ x\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}>0\\\frac{x^3-1}{x^2}>0

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią (kwadrat dowolnej liczby jest dodatni), zatem aby cały ułamek był dodatni, licznik musi być również większy od zera:

x^3-1>0

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

i otrzymujemy

(x-1)(x^2+x+1)>0

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny (\Delta=b^2-4ac=1-4=-3), a ponieważ współczynnik przy x2 jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był dodatni, pierwszy nawias również musi być dodatni. Stąd:

x-1>0\\ x>1

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją rosnącą.

Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Mamy więc warunek:

f'(x)<0\\ 2x^2-\frac{2}{x^2}<0/:2\\ x-\frac{1}{x^2}<0\\ x\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}<0\\\frac{x^3-1}{x^2}<0

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią, zatem aby cały ułamek był ujemny, licznik musi być mniejszy od zera:

x^3-1<0

i otrzymujemy

(x-1)(x^2+x+1)<0

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny, a ponieważ współczynnik przy x2 jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był ujemny, pierwszy nawias również musi być ujemny. Stąd:

x-1<0\\ x<1

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją malejącą.

ksiązki Odpowiedź

Funkcja f(x) jest malejąca w przedziale (-\infty;1) i rosnąca w przedziale (1;\infty)

© medianauka.pl, 2010-09-22, ZAD-929

Zadania podobne

kulkaZadanie - monotoniczność funkcji a pochodna
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f(x)=\frac{x^2}{x-1}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - monotoniczność a pochodna funkcji
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f(x)=x^3-6x+5.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - monotoniczność funkcji a jej pochodna
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f(x)=\sqrt{2}+1.

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kubek matematyka pi
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
Kolorowe skarpetki 3D
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Rodzinna matematyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.