Zadanie - pochodna funkcji a monotoniczność

Rozwiązanie zadania uproszczone

Funkcja jest rosnąca, gdy
Funkcja jest malejąca, gdy
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Dana jest funkcja
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji musimy znaleźć jej pochodną.

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia. Mamy więc warunek:

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią (kwadrat dowolnej liczby jest dodatni), zatem aby cały ułamek był dodatni, licznik musi być również większy od zera:

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

i otrzymujemy

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny (), a ponieważ współczynnik przy x2 jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był dodatni, pierwszy nawias również musi być dodatni. Stąd:

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją rosnącą.
Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Mamy więc warunek:

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią, zatem aby cały ułamek był ujemny, licznik musi być mniejszy od zera:

i otrzymujemy

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny, a ponieważ współczynnik przy x2 jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był ujemny, pierwszy nawias również musi być ujemny. Stąd:

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją malejącą.
W odpowiedzi należy ponadto uwzględnić dziedzinę naszej funkcji R\{0}
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-22, ZAD-929
Zadania podobne

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania