Strona główna » Matematyka » Pochodna a monotoniczność funkcji

Zadanie - pochodna funkcji a monotoniczność

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=x^2+\frac{2}{x}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}$

Funkcja jest rosnąca, gdy
$f'(x)>0\\ 2x^3-2>0/:2\\ x^3-1>0 \\(x-1)(x^2+x+1)>0\\ x-1>0 \\ x>1$

Funkcja jest malejąca, gdy
$f'(x)<0\\ 2x^3-2<0/:2\\ x^3-1<0 \\(x-1)(x^2+x+1)<0\\ x-1<0 \\ x<1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja $f(x)=x^2+\frac{2}{x}$

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji musimy znaleźć jej pochodną.

$f'(x)=(x^2+\frac{2}{x})'=(x^2+2x^{-1})'=2x+2\cdot (-1)x^{-1-1}=2x-2x^{-2}=2x-\frac{2}{x^2}$

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia. Mamy więc warunek:

$f'(x)>0\\ 2x^2-\frac{2}{x^2}>0/:2\\ x-\frac{1}{x^2}>0\\ x\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}>0\\\frac{x^3-1}{x^2}>0$

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią (kwadrat dowolnej liczby jest dodatni), zatem aby cały ułamek był dodatni, licznik musi być również większy od zera:

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

i otrzymujemy

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny ( $\Delta=b^2-4ac=1-4=-3$ ), a ponieważ współczynnik przy x² jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był dodatni, pierwszy nawias również musi być dodatni. Stąd:

$x-1>0\\ x>1$

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją rosnącą.

Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Mamy więc warunek:

$f'(x)<0\\ 2x^2-\frac{2}{x^2}<0/:2\\ x-\frac{1}{x^2}<0\\ x\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}<0\\\frac{x^3-1}{x^2}<0$

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią, zatem aby cały ułamek był ujemny, licznik musi być mniejszy od zera:

i otrzymujemy

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny, a ponieważ współczynnik przy x² jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był ujemny, pierwszy nawias również musi być ujemny. Stąd:

$x-1<0\\ x<1$