Zadanie - pochodna funkcji a monotoniczność

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja \(f(x)=x^2+\frac{2}{x}\).

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji musimy znaleźć jej pochodną.

\(f'(x)=(x^2+\frac{2}{x})'=(x^2+2x^{-1})'=2x+2\cdot (-1)x^{-1-1}=2x-2x^{-2}=2x-\frac{2}{x^2}\)

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia. Mamy więc warunek:

\(f'(x)>0\)

\(2x^2-\frac{2}{x^2}>0/:2\)

\(x-\frac{1}{x^2}>0\)

\(x\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}>0\)

\(\frac{x^3-1}{x^2}>0\)

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią (kwadrat dowolnej liczby jest dodatni), zatem aby cały ułamek był dodatni, licznik musi być również większy od zera:

\(x^3-1>0\)

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

i otrzymujemy

\((x-1)(x^2+x+1)>0\)

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny (\(\Delta=b^2-4ac=1-4=-3\)), a ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był dodatni, pierwszy nawias również musi być dodatni. Stąd:

\(x-1>0\)

\(x>1\)

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją rosnącą.

Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Mamy więc warunek:

\(f'(x)<0\)

\(2x^2-\frac{2}{x^2}<0/:2\)

\(x-\frac{1}{x^2}<0\)

\(x\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}<0\)

\(\frac{x^3-1}{x^2}<0\)

Ułamek ma w mianowniku liczbę dodatnią, zatem aby cały ułamek był ujemny, licznik musi być mniejszy od zera:

\(x^3-1<0\)

i otrzymujemy

\((x-1)(x^2+x+1)<0\)

W drugim nawiasie mamy do czynienia z trójmianem, którego wyróżnik jest ujemny, a ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, to trójmian przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Aby iloczyn był ujemny, pierwszy nawias również musi być ujemny. Stąd:

\(x-1<0\)

\(x<1\)

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją malejącą.

W odpowiedzi należy ponadto uwzględnić dziedzinę naszej funkcji \(\mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace\).

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-09-22, ZAD-929

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne