Nauka » Matematyka » Pochodna a monotoniczność funkcji

Zadanie - monotoniczność a pochodna funkcji

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji obliczamy jej pochodną.

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia.

Zatem otrzymaliśmy warunek:

$f'(x)>0\\ 3x^2-6>0/:3\\ x^2-2>0$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

i otrzymujemy

$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})>0$

Sporządzamy wykres zmienności trójmianu kwadratowego. Mamy tutaj do czynienia z dwoma pierwiastkami, ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości dodatnie zaznaczono kolorem niebieskim.

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

$x \in(-\infty;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};\infty)$

W tym przedziale funkcją rośnie.

Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Zatem analogicznie:

$f'(x)<0\\ 3x^2-6<0/:3\\ x^2-2<0 \\ (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})<0$

Korzystamy z tego samego wykresu, co wcześniej.

Wartości ujemne zaznaczono kolorem różowym.

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

$x \in (-\sqrt{2};\sqrt{2})$

W tym przedziale funkcja maleje.

Odpowiedź

Funkcja f(x) jest rosnąca w przedziale $x \in(-\infty;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};\infty)$ i malejąca w przedziale $x \in (-\sqrt{2};\sqrt{2})$

Zadania podobne

Zadanie - monotoniczność funkcji a pochodna
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pochodna funkcji a monotoniczność
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=x^2+\frac{2}{x}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - monotoniczność funkcji a jej pochodna
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\sqrt{2}+1$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.