Strona główna » Matematyka » Pochodna a monotoniczność funkcji

Zadanie - monotoniczność funkcji a pochodna

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

Df=R\{1}
$f(x)=\frac{x^2}{x-1}\\ f'(x)=\frac{(x^2)'(x-1)-x^2(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$
tło

Funkcja jest rosnąca, gdy
$f'(x)>0\\ \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}>0\\ x^2-2x>0\\ x(x-2)>0\\ x \in(-\infty;0)\cup (2;\infty)$

Funkcja jest malejąca, gdy
$f'(x)<0\\ x^2-2x<0\\ x(x-2)<0\\ x\in(0;2)$

a z uwzglednieniem dziedziny:

$x \in (0;2)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$

Dziedzina funkcji:

Df=R\{1}

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji musimy znaleźć jej pochodną. Mamy tutaj do czynienia z pochodną ilorazu funkcji, więc stosujemy wzór:

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Mamy więc:

$f'(x)=\frac{(x^2)'(x-1)-x^2(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia. Mamy więc warunek:

$f'(x)>0\\ \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}>0$

W mianowniku ułamka mamy kwadrat, w związku z czym jest tam liczba dodatnia. Aby cały ułamek był dodatni, licznik musi być większy od zera.

$x^2-2x>0\\ x(x-2)>0$

Sporządzamy wykres zmienności trójmianu kwadratowego, mamy dwa pierwiastki: 0 i 2, ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości dodatnie zaznaczono kolorem niebieskim.

Rysunek pomocniczy

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

$x \in(-\infty;0)\cup (2;\infty)$