Zadanie - monotoniczność funkcji a pochodna

Rozwiązanie zadania uproszczone
Df=R\{1}

Funkcja jest rosnąca, gdy
Funkcja jest malejąca, gdy
a z uwzglednieniem dziedziny:
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Dana jest funkcja
Dziedzina funkcji:
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji musimy znaleźć jej pochodną. Mamy tutaj do czynienia z pochodną ilorazu funkcji, więc stosujemy wzór:
![[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}](matematyka/wzory/zad494/5.gif)
Mamy więc:

Funkcja jest rosnąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest dodatnia. Mamy więc warunek:

W mianowniku ułamka mamy kwadrat, w związku z czym jest tam liczba dodatnia. Aby cały ułamek był dodatni, licznik musi być większy od zera.

Sporządzamy wykres zmienności trójmianu kwadratowego, mamy dwa pierwiastki: 0 i 2, ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości dodatnie zaznaczono kolorem niebieskim.
Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją rosnącą.
Funkcja jest malejąca w danym przedziale, jeżeli pochodna tej funkcji jest ujemna. Mamy więc warunek:

W mianowniku ułamka mamy kwadrat, w związku z czym jest tam liczba dodatnia. Aby cały ułamek był ujemny, licznik musi być mniejszy od zera.

Korzystamy z tego samego wykresu, co wcześniej. Wartości ujemne zaznaczono kolorem różowym.
Odczytujemy rozwiązanie z wykresu:

Uwzgledniając dziedzine funkcji otrzymujemy przedziały:

W tym przedziale mamy do czynienia z funkcją malejącą.
Odpowiedź


© medianauka.pl, 2010-09-21, ZAD-927
Zadania podobne

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania