Granica ciągu

Definicja granicy ciągu wymaga zrozumienia pojęcia otoczenia punktu oraz wygodnie jest posłużyć się zwrotem prawie wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego.
Prawie wszystkie wyrazy ciągu to wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończonej ich liczby.

Przykład

Dany jest ciąg (1,2,3,4,5,...).

Wszystkie wyrazy ciągu większe od 100, to prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
Wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb 10,11,12,13,...,100000 to prawie wszystkie wyrazy ciągu.

Przykładami prawie wszystkich wyrazów ciągu nie są:

wszystkie wyrazy ciągu mniejsze od 100
wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb 2,4,6,8,...

ponieważ wykluczamy z ciągu nieskończoną liczbę wyrazów.

Zrozumienie definicji granicy ciągu jest trudne do zrozumienia, chociaż intuicyjne podejście do pojęcia granicy nie jest trudne. Dlatego zaczniemy od przykładu.

Przykład

Dany jest ciąg $a_n=\frac{2+n}{n}$ .
Wypiszmy jego wyrazy i sporządźmy wykres tego ciągu.

$(3,2,1\frac{2}{3},1\frac{1}{2},1\frac{2}{5},1\frac{1}{3},1\frac{2}{7},1\frac{1}{4},1\frac{2}{9},1\frac{1}{5},...)$

Bez trudu zauważamy, że im większe n tym wyrazy a_n są bliższe wartości 1. Mówimy, że ciąg jest zbieżny do 1 lub że jego granicą przy n dążącym do nieskończoności jest liczba 1, możemy też powiedzieć, że a_n dąży do 1, gdy n dąży do nieskończoności.

Zajmijmy się teraz definicją granicy ciągu. Oto ona:

Definicja

Liczba g jest granicą ciągu (a_n) (granicę oznaczamy symbolem $\lim_{n\to\infty} (a_n)=g$ ) jeżeli spełniony jest warunek

$\lim_{n\to\infty} (a_n)=g \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{\varepsilon >0} \bigvee\limits_{n_0} \bigwedge\limits_{n >n_0}|a_n-g|<\varepsilon$

Powyższy wzór możemy przeczytać następująco: "Liczba g jest granicą ciągu (a_n) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego $\varepsilon$ istnieje taka liczba n₀, że dla każdego n > n₀ spełniona jest nierówność $|a_n-g|<\varepsilon$ .

Symbol lim czytamy jako limes, jest słowo greckiego pochodzenia, oznaczające granicę.
Symbol $\lim_{n\to\infty}(a_n)=g$ czytamy następująco: "granicą ciągu a_n przy n dążącym do nieskończoności jest liczba g".

Jeśli przypomnimy sobie pojęcia otoczenia punktu i prawie wszystkich wyrazów ciągu, to powyższa definicja powinna się wydawać bardziej zrozumiała.
Otóż widać, że $\varepsilon$ to promień otoczenia punktu g, a wyrazy ciągu a_n należą do tego otoczenia.

Możemy więc powiedzieć, że liczba g jest granicą ciągu, jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu g prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (wszystkie dla n większego od n₀) należą do tego otoczenia.

Jeszcze lepiej widać to na ilustracji.

Zaznaczyliśmy na wykresie przykładowe otoczenie punktu g = 1 i widać, że istnieje takie n₀, że dla kolejnych n większych od n₀ prawie wszystkie wyrazy a_n należą do otoczenia tego punktu - punkty (n, a_n) znajdują się do zakreskowanej części wykresu. Widać tez, że dotyczy to każdego otoczenia tego punktu. Stąd możemy napisać, że:
$\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n}=1$

Granica niewłaściwa ciągu

Nie wszystkie granice ciągów są zbieżne. Spójrzmy na poniższe przykłady.

Przykład

Ciąg (2,4,8,...,2ⁿ,...) nie jest zbieżny.
Ciąg (1,4,9,16,...,n²,...) również nie jest zbieżny.

O ciągach, które nie mają granicy mówimy, że są rozbieżne lub mają granice niewłaściwe.

Definicja

Ciąg (a_n) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności i piszemy

$\lim_{n\to\infty}(a_n)=\infty$

jeżeli

$\lim_{n\to\infty}(a_n)=\infty\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{M\in{R}}\bigvee\limits_{n_0\in{N_{+}}}\bigwedge\limits_{n\in{N_{+}}}(n>n_0\Rightarrow{a_n>M})$

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (a_n) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności (ma granicę niewłaściwą nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M".

Definicja

Ciąg (a_n) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności i piszemy

$\lim_{n\to\infty}(a_n)=-\infty$

jeżeli

$\lim_{n\to\infty}(a_n)=-\infty\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{M\in{R}}\bigvee\limits_{n_0\in{N_{+}}}\bigwedge\limits_{n\in{N_{+}}}(n>n_0\Rightarrow{a_n}<M)$

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (a_n) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności (ma granicę niewłaściwą minus nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od M".

Przykłady ciągów rozbieżnych i ich granice:

Ciąg (a_n)	Granica
a_n = n	$\lim_{n\to\infty}n=\infty$
a_n = -n	$\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty$
a_n = 5 ⁿ	$\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$
a_n = n ³	$\lim_{n\to\infty}n^3=\infty$