Granica ciągu
Definicja granicy ciągu wymaga zrozumienia pojęcia otoczenia punktu oraz wygodnie jest posłużyć się zwrotem prawie wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego.
Prawie wszystkie wyrazy ciągu to wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończonej ich liczby.
Przykład
Dany jest ciąg (1,2,3,4,5,...).
- Wszystkie wyrazy ciągu większe od 100, to prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
- Wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb 10,11,12,13,...,100000 to prawie wszystkie wyrazy ciągu.
Przykładami prawie wszystkich wyrazów ciągu nie są:
- wszystkie wyrazy ciągu mniejsze od 100
- wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb 2,4,6,8,...
ponieważ wykluczamy z ciągu nieskończoną liczbę wyrazów.
Zrozumienie definicji granicy ciągu jest trudne do zrozumienia, chociaż intuicyjne podejście do pojęcia granicy nie jest trudne. Dlatego zaczniemy od przykładu.
Przykład
Dany jest ciąg .
Wypiszmy jego wyrazy i sporządźmy wykres tego ciągu.

Bez trudu zauważamy, że im większe n tym wyrazy an są bliższe wartości 1. Mówimy, że ciąg jest zbieżny do 1 lub że jego granicą przy n dążącym do nieskończoności jest liczba 1, możemy też powiedzieć, że an dąży do 1, gdy n dąży do nieskończoności.
Zajmijmy się teraz definicją granicy ciągu. Oto ona:
Definicja
Liczba g jest granicą ciągu (an) (granicę oznaczamy symbolem ) jeżeli spełniony jest warunek

Powyższy wzór możemy przeczytać następująco: "Liczba g jest granicą ciągu (an) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego istnieje taka liczba n0, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierówność
.
Symbol lim czytamy jako limes, jest słowo greckiego pochodzenia, oznaczające granicę.
Symbol czytamy następująco: "granicą ciągu an przy n dążącym do nieskończoności jest liczba g".
Jeśli przypomnimy sobie pojęcia otoczenia punktu i prawie wszystkich wyrazów ciągu, to powyższa definicja powinna się wydawać bardziej zrozumiała.
Otóż widać, że to promień otoczenia punktu g, a wyrazy ciągu an należą do tego otoczenia.
Możemy więc powiedzieć, że liczba g jest granicą ciągu, jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu g prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (wszystkie dla n większego od n0) należą do tego otoczenia.
Jeszcze lepiej widać to na ilustracji.

Zaznaczyliśmy na wykresie przykładowe otoczenie punktu g = 1 i widać, że istnieje takie n0, że dla kolejnych n większych od n0 prawie wszystkie wyrazy an należą do otoczenia tego punktu - punkty (n, an) znajdują się do zakreskowanej części wykresu. Widać tez, że dotyczy to każdego otoczenia tego punktu. Stąd możemy napisać, że:
Granica niewłaściwa ciągu
Nie wszystkie granice ciągów są zbieżne. Spójrzmy na poniższe przykłady.
Przykład
Ciąg (2,4,8,...,2n,...) nie jest zbieżny.
Ciąg (1,4,9,16,...,n2,...) również nie jest zbieżny.
O ciągach, które nie mają granicy mówimy, że są rozbieżne lub mają granice niewłaściwe.
Definicja
Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności i piszemy
jeżeli

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności (ma granicę niewłaściwą nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M".
Definicja
Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności i piszemy
jeżeli

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności (ma granicę niewłaściwą minus nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od M".
Przykłady ciągów rozbieżnych i ich granice:
Ciąg (an) | Granica |
---|---|
an = n | ![]() |
an = -n | ![]() |
an = 5 n | ![]() |
an = n 3 | ![]() |
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2009-08-29, ART-310