Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Granica ciągu

Teoria Definicja granicy ciągu wymaga zrozumienia pojęcia otoczenia punktu oraz wygodnie jest posłużyć się zwrotem prawie wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego.
Prawie wszystkie wyrazy ciągu to wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończonej ich liczby.

Przykład Przykład

Dany jest ciąg (1,2,3,4,5,...).

  • Wszystkie wyrazy ciągu większe od 100, to prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
  • Wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb 10,11,12,13,...,100000 to prawie wszystkie wyrazy ciągu.


Przykładami prawie wszystkich wyrazów ciągu nie są:

  • wszystkie wyrazy ciągu mniejsze od 100
  • wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb 2,4,6,8,...

ponieważ wykluczamy z ciągu nieskończoną liczbę wyrazów.

Teoria Zrozumienie definicji granicy ciągu jest trudne do zrozumienia, chociaż intuicyjne podejście do pojęcia granicy nie jest trudne. Dlatego zaczniemy od przykładu.

Przykład Przykład

Dany jest ciąg a_n=\frac{2+n}{n}.
Wypiszmy jego wyrazy i sporządźmy wykres tego ciągu.

(3,2,1\frac{2}{3},1\frac{1}{2},1\frac{2}{5},1\frac{1}{3},1\frac{2}{7},1\frac{1}{4},1\frac{2}{9},1\frac{1}{5},...)

Wykres ciągu an=(2+n)/n

Bez trudu zauważamy, że im większe n tym wyrazy an są bliższe wartości 1. Mówimy, że ciąg jest zbieżny do 1 lub że jego granicą przy n dążącym do nieskończoności jest liczba 1, możemy też powiedzieć, że an dąży do 1, gdy n dąży do nieskończoności.

Zajmijmy się teraz definicją granicy ciągu. Oto ona:

Definicja Definicja

Liczba g jest granicą ciągu (an) (granicę oznaczamy symbolem \lim_{n\to\infty} (a_n)=g) jeżeli spełniony jest warunek


\lim_{n\to\infty} (a_n)=g \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{\varepsilon >0} \bigvee\limits_{n_0} \bigwedge\limits_{n >n_0}|a_n-g|<\varepsilon

Powyższy wzór możemy przeczytać następująco: "Liczba g jest granicą ciągu (an) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego \varepsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierówność |a_n-g|<\varepsilon.

Symbol lim czytamy jako limes, jest słowo greckiego pochodzenia, oznaczające granicę.
Symbol \lim_{n\to\infty}(a_n)=g czytamy następująco: "granicą ciągu an przy n dążącym do nieskończoności jest liczba g".

Teoria Jeśli przypomnimy sobie pojęcia otoczenia punktu i prawie wszystkich wyrazów ciągu, to powyższa definicja powinna się wydawać bardziej zrozumiała.
Otóż widać, że \varepsilon to promień otoczenia punktu g, a wyrazy ciągu an należą do tego otoczenia.

Możemy więc powiedzieć, że liczba g jest granicą ciągu, jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu g prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (wszystkie dla n większego od n0) należą do tego otoczenia.

Jeszcze lepiej widać to na ilustracji.

granica coągu

Zaznaczyliśmy na wykresie przykładowe otoczenie punktu g = 1 i widać, że istnieje takie n0, że dla kolejnych n większych od n0 prawie wszystkie wyrazy an należą do otoczenia tego punktu - punkty (n, an) znajdują się do zakreskowanej części wykresu. Widać tez, że dotyczy to każdego otoczenia tego punktu. Stąd możemy napisać, że:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n}=1


© medianauka.pl, 2009-08-29, ART-310






Inne zagadnienia z tej lekcji




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.