Logo Media Nauka

Granica ciągu

Teoria Definicja granicy ciągu wymaga zrozumienia pojęcia otoczenia punktu oraz wygodnie jest posłużyć się zwrotem prawie wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego.
Prawie wszystkie wyrazy ciągu to wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończonej ich liczby.

Przykład Przykład

Dany jest ciąg (1,2,3,4,5,...).

  • Wszystkie wyrazy ciągu większe od 100, to prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
  • Wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb 10,11,12,13,...,100000 to prawie wszystkie wyrazy ciągu.


Przykładami prawie wszystkich wyrazów ciągu nie są:

  • wszystkie wyrazy ciągu mniejsze od 100
  • wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem liczb 2,4,6,8,...

ponieważ wykluczamy z ciągu nieskończoną liczbę wyrazów.

Teoria Zrozumienie definicji granicy ciągu jest trudne do zrozumienia, chociaż intuicyjne podejście do pojęcia granicy nie jest trudne. Dlatego zaczniemy od przykładu.

Przykład Przykład

Dany jest ciąg a_n=\frac{2+n}{n}.
Wypiszmy jego wyrazy i sporządźmy wykres tego ciągu.

(3,2,1\frac{2}{3},1\frac{1}{2},1\frac{2}{5},1\frac{1}{3},1\frac{2}{7},1\frac{1}{4},1\frac{2}{9},1\frac{1}{5},...)

Wykres ciągu an=(2+n)/n

Bez trudu zauważamy, że im większe n tym wyrazy an są bliższe wartości 1. Mówimy, że ciąg jest zbieżny do 1 lub że jego granicą przy n dążącym do nieskończoności jest liczba 1, możemy też powiedzieć, że an dąży do 1, gdy n dąży do nieskończoności.

Zajmijmy się teraz definicją granicy ciągu. Oto ona:

Definicja Definicja

Liczba g jest granicą ciągu (an) (granicę oznaczamy symbolem \lim_{n\to\infty} (a_n)=g) jeżeli spełniony jest warunek


\lim_{n\to\infty} (a_n)=g \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{\varepsilon >0} \bigvee\limits_{n_0} \bigwedge\limits_{n >n_0}|a_n-g|<\varepsilon

Powyższy wzór możemy przeczytać następująco: "Liczba g jest granicą ciągu (an) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego \varepsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierówność |a_n-g|<\varepsilon.

Symbol lim czytamy jako limes, jest słowo greckiego pochodzenia, oznaczające granicę.
Symbol \lim_{n\to\infty}(a_n)=g czytamy następująco: "granicą ciągu an przy n dążącym do nieskończoności jest liczba g".

Teoria Jeśli przypomnimy sobie pojęcia otoczenia punktu i prawie wszystkich wyrazów ciągu, to powyższa definicja powinna się wydawać bardziej zrozumiała.
Otóż widać, że \varepsilon to promień otoczenia punktu g, a wyrazy ciągu an należą do tego otoczenia.

Możemy więc powiedzieć, że liczba g jest granicą ciągu, jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu g prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (wszystkie dla n większego od n0) należą do tego otoczenia.

Jeszcze lepiej widać to na ilustracji.

granica coągu

Zaznaczyliśmy na wykresie przykładowe otoczenie punktu g = 1 i widać, że istnieje takie n0, że dla kolejnych n większych od n0 prawie wszystkie wyrazy an należą do otoczenia tego punktu - punkty (n, an) znajdują się do zakreskowanej części wykresu. Widać tez, że dotyczy to każdego otoczenia tego punktu. Stąd możemy napisać, że:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n}=1

Granica niewłaściwa ciągu

Nie wszystkie granice ciągów są zbieżne. Spójrzmy na poniższe przykłady.

Przykład Przykład

Ciąg (2,4,8,...,2n,...) nie jest zbieżny.
Ciąg (1,4,9,16,...,n2,...) również nie jest zbieżny.

Teoria O ciągach, które nie mają granicy mówimy, że są rozbieżne lub mają granice niewłaściwe.

Definicja Definicja

Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności i piszemy

\lim_{n\to\infty}(a_n)=\infty

jeżeli

\lim_{n\to\infty}(a_n)=\infty\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{M\in{R}}\bigvee\limits_{n_0\in{N_{+}}}\bigwedge\limits_{n\in{N_{+}}}(n>n_0\Rightarrow{a_n>M})

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności (ma granicę niewłaściwą nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M".

Definicja Definicja

Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności i piszemy

\lim_{n\to\infty}(a_n)=-\infty

jeżeli

\lim_{n\to\infty}(a_n)=-\infty\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{M\in{R}}\bigvee\limits_{n_0\in{N_{+}}}\bigwedge\limits_{n\in{N_{+}}}(n>n_0\Rightarrow{a_n}<M)

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności (ma granicę niewłaściwą minus nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od M".

Przykłady ciągów rozbieżnych i ich granice:

Ciąg (an)Granica
an = n\lim_{n\to\infty}n=\infty
an = -n\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty
an = 5 n\lim_{n\to\infty}5^n=\infty
an = n 3\lim_{n\to\infty}n^3=\infty

© medianauka.pl, 2009-08-29, ART-310





Inne zagadnienia z tej lekcji

Otoczenie punktuOtoczenie punktu
Co to jest otoczenie punktu?
Obliczanie granic ciągówObliczanie granic ciągów
Jak obliczać granice ciągów?



© Media Nauka 2008-2018 r.