Zadanie maturalne nr 5, matura 2022 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Obliczamy granicę ciągu:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}=\)

\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(7p-1)n^3}{n^3}+\frac{5pn}{n^3}-\frac{3}{n^3}}{\frac{(p+1)n^3}{n^3}+\frac{n^2}{n^3}+\frac{p}{n^3}}=\)

\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{(7p-1)+\frac{5p}{n^2}-\frac{3}{n^3}}{(p+1)+\frac{1}{n}+\frac{p}{n^3}}=\frac{7p-1}{p+1}\)

Zgodnie z warunkami zadania mamy:

\(\frac{7p-1}{p+1}=\frac{4}{3}\)

\(3(7p-1)=4(p+1)\)

\(21p-3=4p+4\)

\(17p=7/:17\)

\(p=\frac{7}{17}=0,4117647...\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-04-27, ZAD-4883

Zadania podobne

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty\).

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}5^n=\infty\).

Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).

Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że

A. \(p=-8\)

B. \(p=4\)

C. \(p=2\)

D. \(p=-2\)

Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa

A. \(3\).

B. \(\frac{1}{5}\).

C. \(\frac{3}{5}\).

D. \(-\frac{5}{11}\).

Oblicz granicę

.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.