Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji

Rozwiązanie zadania uproszczone
Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że 2 jest granicą ciągu 





Istnieje więc takie n0, równe na przykład
![[\frac{3}{\varepsilon}]+1](matematyka/wzory/zad94/8.gif)
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że 2 jest granicą ciągu przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n>n0 spełniona jest nierówność
czyli:
Rozwiązujemy nierówność:
Ponieważ n jest liczbą naturalną, to ułamek 3/n jest zawsze dodatni i można opuścić wartość bezwzględną.
Powyższy ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny.
Mogliśmy podzielić przez epsilon, gdyż z definicji jest to dodatnia liczba i różna od zera.
Istnieje więc takie n0, równe na przykład , (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc liczba 2 jest granicą tego ciągu.
Zilustrujmy ten wynik przykładem. Niech dla przykładu
Dla , czyli począwszy od drugiego wyrazu naszego ciągu, wszystkie wyrazy należą do otoczenia punktu 2. Zobaczmy to na rysunku:

© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-484
Zadania podobne

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykazać, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć granicę

Pokaż rozwiązanie zadania

Granica

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz granicę

W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Pokaż rozwiązanie zadania

Ciąg (an) jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej n ≥1.
Granica tego ciągu jest równa
A. 3.
B. 1/5.
C. 3/5.
D. -5/11.
Pokaż rozwiązanie zadania