Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji

Wykazać na podtawie definicji, że $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2$

Rozwiązanie zadania uproszczone

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że 2 jest granicą ciągu $(a_n)=\frac{2n+3}{n}$ przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n₀, że dla każdego n>n₀ spełniona jest nierówność $|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon$
$|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon$
$|\frac{2n+3}{n}-\frac{2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{2n+3-2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{3}{n}|<\varepsilo$
$\frac{3}{n}<\varepsilon \\ \frac{3}{n}-\varepsilon<0 \\ \frac{3}{n}-\frac{\varepsilon n}{n}<0 \\ \frac{3-\varepsilon n}{n}<0$
$3-\varepsilon n<0 \\ -\varepsilon n<-3/:(-\varepsilon) \\n>\frac{3}{\varepsilon}$
Istnieje więc takie n₀, równe na przykład $[\frac{3}{\varepsilon}]+1$ , że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n₀ prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc liczba 2 jest granicą tego ciągu.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozwiązujemy nierówność:
$|\frac{2n+3}{n}-\frac{2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{2n+3-2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{3}{n}|<\varepsilo$

Ponieważ n jest liczbą naturalną, to ułamek 3/n jest zawsze dodatni i można opuścić wartość bezwzględną.
$\frac{3}{n}<\varepsilon \\ \frac{3}{n}-\varepsilon<0 \\ \frac{3}{n}-\frac{\varepsilon n}{n}<0 \\ \frac{3-\varepsilon n}{n}<0$

Powyższy ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny.
$3-\varepsilon n<0 \\ -\varepsilon n<-3/:(-\varepsilon) \\n>\frac{3}{\varepsilon}$

Mogliśmy podzielić przez epsilon, gdyż z definicji jest to dodatnia liczba i różna od zera.
Istnieje więc takie n₀, równe na przykład $[\frac{3}{\varepsilon}]+1$ , (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n₀ prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc liczba 2 jest granicą tego ciągu.

Zilustrujmy ten wynik przykładem. Niech dla przykładu $\varepsilon=2$
Dla $n_0=[\frac{2}{\varepsilon}]+1=[\frac{3}{2}]+1=2$ , czyli począwszy od drugiego wyrazu naszego ciągu, wszystkie wyrazy należą do otoczenia punktu 2. Zobaczmy to na rysunku:

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że $\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica $\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę $\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})$ .
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 2, matura 2020 - poziom rozszerzony

Ciąg (a_n) jest określony wzorem $\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}$ dla każdej liczby naturalnej n ≥1. Granica tego ciągu jest równa

A. 3.

B. 1/5.

C. 3/5.

D. -5/11.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.