Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji


Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że 2 jest granicą ciągu (a_n)=\frac{2n+3}{n} przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n>n0 spełniona jest nierówność |\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon
|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon
|\frac{2n+3}{n}-\frac{2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{2n+3-2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{3}{n}|<\varepsilo
\frac{3}{n}<\varepsilon \\ \frac{3}{n}-\varepsilon<0 \\ \frac{3}{n}-\frac{\varepsilon n}{n}<0 \\ \frac{3-\varepsilon n}{n}<0
3-\varepsilon n<0 \\ -\varepsilon n<-3/:(-\varepsilon) \\n>\frac{3}{\varepsilon}
Istnieje więc takie n0, równe na przykład [\frac{3}{\varepsilon}]+1 , że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc liczba 2 jest granicą tego ciągu.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że 2 jest granicą ciągu (a_n)=\frac{2n+3}{n} przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n>n0 spełniona jest nierówność |\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon
czyli:
|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon

Rozwiązujemy nierówność:
|\frac{2n+3}{n}-\frac{2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{2n+3-2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{3}{n}|<\varepsilo

Ponieważ n jest liczbą naturalną, to ułamek 3/n jest zawsze dodatni i można opuścić wartość bezwzględną.
\frac{3}{n}<\varepsilon \\ \frac{3}{n}-\varepsilon<0 \\ \frac{3}{n}-\frac{\varepsilon n}{n}<0 \\ \frac{3-\varepsilon n}{n}<0

Powyższy ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny.
3-\varepsilon n<0 \\ -\varepsilon n<-3/:(-\varepsilon) \\n>\frac{3}{\varepsilon}

Mogliśmy podzielić przez epsilon, gdyż z definicji jest to dodatnia liczba i różna od zera.
Istnieje więc takie n0, równe na przykład [\frac{3}{\varepsilon}]+1 , (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc liczba 2 jest granicą tego ciągu.

Zilustrujmy ten wynik przykładem. Niech dla przykładu \varepsilon=2
Dla n_0=[\frac{2}{\varepsilon}]+1=[\frac{3}{2}]+1=2, czyli począwszy od drugiego wyrazu naszego ciągu, wszystkie wyrazy należą do otoczenia punktu 2. Zobaczmy to na rysunku:

Wykres ciągu

© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-484





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.