Logo Media Nauka

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji

Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że 2 jest granicą ciągu (a_n)=\frac{2n+3}{n} przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n>n0 spełniona jest nierówność |\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon
|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon
|\frac{2n+3}{n}-\frac{2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{2n+3-2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{3}{n}|<\varepsilo
\frac{3}{n}<\varepsilon \\ \frac{3}{n}-\varepsilon<0 \\ \frac{3}{n}-\frac{\varepsilon n}{n}<0 \\ \frac{3-\varepsilon n}{n}<0
3-\varepsilon n<0 \\ -\varepsilon n<-3/:(-\varepsilon) \\n>\frac{3}{\varepsilon}
Istnieje więc takie n0, równe na przykład [\frac{3}{\varepsilon}]+1 , że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc liczba 2 jest granicą tego ciągu.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że 2 jest granicą ciągu (a_n)=\frac{2n+3}{n} przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n>n0 spełniona jest nierówność |\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon
czyli:
|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon

Rozwiązujemy nierówność:
|\frac{2n+3}{n}-\frac{2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{2n+3-2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{3}{n}|<\varepsilo

Ponieważ n jest liczbą naturalną, to ułamek 3/n jest zawsze dodatni i można opuścić wartość bezwzględną.
\frac{3}{n}<\varepsilon \\ \frac{3}{n}-\varepsilon<0 \\ \frac{3}{n}-\frac{\varepsilon n}{n}<0 \\ \frac{3-\varepsilon n}{n}<0

Powyższy ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny.
3-\varepsilon n<0 \\ -\varepsilon n<-3/:(-\varepsilon) \\n>\frac{3}{\varepsilon}

Mogliśmy podzielić przez epsilon, gdyż z definicji jest to dodatnia liczba i różna od zera.
Istnieje więc takie n0, równe na przykład [\frac{3}{\varepsilon}]+1 , (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc liczba 2 jest granicą tego ciągu.

Zilustrujmy ten wynik przykładem. Niech dla przykładu \varepsilon=2
Dla n_0=[\frac{2}{\varepsilon}]+1=[\frac{3}{2}]+1=2, czyli począwszy od drugiego wyrazu naszego ciągu, wszystkie wyrazy należą do otoczenia punktu 2. Zobaczmy to na rysunku:

Wykres ciągu

© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-484



Zadania podobne

kulkaZadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę \lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}).
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   


Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.