Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji
Treść zadania:
Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).
Rozwiązanie zadania
Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że \(2\) jest granicą ciągu \((a_n)=\frac{2n+3}{n}\) przy \(n\) dążącym do nieskończoności, jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba \(n_0\), że dla każdego \(n>n_0\) spełniona jest nierówność \(|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon\), czyli:
\(|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon\)
Rozwiązujemy nierówność:
\(|\frac{2n+3}{n}-\frac{2n}{n}|<\varepsilon\)
\( |\frac{2n+3-2n}{n}|<\varepsilon\)
\(|\frac{3}{n}|<\varepsilon\)
Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, to ułamek \(\frac{3}{n}\) jest zawsze dodatni i można opuścić wartość bezwzględną.
\(\frac{3}{n}<\varepsilon\)
\(\frac{3}{n}-\varepsilon<0\)
\(\frac{3}{n}-\frac{\varepsilon n}{n}<0\)
\(\frac{3-\varepsilon n}{n}<0\)
Powyższy ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny.
\(3-\varepsilon n<0\)
\(-\varepsilon n<-3/:(-\varepsilon)\)
\(n>\frac{3}{\varepsilon}\)
Mogliśmy podzielić przez epsilon, gdyż z definicji jest to dodatnia liczba i różna od zera. Istnieje więc takie \(n_0\), równe na przykład \([\frac{3}{\varepsilon}]+1\), (zapis "[ ]" oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od \(n_0\) prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc liczba \(2\) jest granicą tego ciągu.
Zilustrujmy ten wynik przykładem. Niech dla przykładu \(\varepsilon=2\). Dla \(n_0=[\frac{2}{\varepsilon}]+1=[\frac{3}{2}]+1=2\), czyli począwszy od drugiego wyrazu naszego ciągu, wszystkie wyrazy należą do otoczenia punktu \(2\). Zobaczmy to na rysunku:
© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-484
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).
Zadanie nr 2.
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).
Zadanie nr 3.
Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).
Zadanie nr 4.
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty\).
Zadanie nr 5.
Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).
Zadanie nr 7.
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że
A. \(p=-8\)
B. \(p=4\)
C. \(p=2\)
D. \(p=-2\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa
A. \(3\).
B. \(\frac{1}{5}\).
C. \(\frac{3}{5}\).
D. \(-\frac{5}{11}\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Oblicz granicę
.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 12 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.