Logo Media Nauka

Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji


Wykazać na podtawie definicji, że \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że 2 jest granicą ciągu (a_n)=\frac{2n+3}{n} przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n>n0 spełniona jest nierówność |\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon
|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon
|\frac{2n+3}{n}-\frac{2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{2n+3-2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{3}{n}|<\varepsilo
\frac{3}{n}<\varepsilon \\ \frac{3}{n}-\varepsilon<0 \\ \frac{3}{n}-\frac{\varepsilon n}{n}<0 \\ \frac{3-\varepsilon n}{n}<0
3-\varepsilon n<0 \\ -\varepsilon n<-3/:(-\varepsilon) \\n>\frac{3}{\varepsilon}
Istnieje więc takie n0, równe na przykład [\frac{3}{\varepsilon}]+1 , że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc liczba 2 jest granicą tego ciągu.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że 2 jest granicą ciągu (a_n)=\frac{2n+3}{n} przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n>n0 spełniona jest nierówność |\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon
czyli:
|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon

Rozwiązujemy nierówność:
|\frac{2n+3}{n}-\frac{2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{2n+3-2n}{n}|<\varepsilon \\ |\frac{3}{n}|<\varepsilo

Ponieważ n jest liczbą naturalną, to ułamek 3/n jest zawsze dodatni i można opuścić wartość bezwzględną.
\frac{3}{n}<\varepsilon \\ \frac{3}{n}-\varepsilon<0 \\ \frac{3}{n}-\frac{\varepsilon n}{n}<0 \\ \frac{3-\varepsilon n}{n}<0

Powyższy ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny.
3-\varepsilon n<0 \\ -\varepsilon n<-3/:(-\varepsilon) \\n>\frac{3}{\varepsilon}

Mogliśmy podzielić przez epsilon, gdyż z definicji jest to dodatnia liczba i różna od zera.
Istnieje więc takie n0, równe na przykład [\frac{3}{\varepsilon}]+1 , (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc liczba 2 jest granicą tego ciągu.

Zilustrujmy ten wynik przykładem. Niech dla przykładu \varepsilon=2
Dla n_0=[\frac{2}{\varepsilon}]+1=[\frac{3}{2}]+1=2, czyli począwszy od drugiego wyrazu naszego ciągu, wszystkie wyrazy należą do otoczenia punktu 2. Zobaczmy to na rysunku:

Wykres ciągu

© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-484

Zadania podobne

kulkaZadanie - obliczanie granic ciągów
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicji
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicji
Wykazać, że \lim_{n\to\infty}5^n=\infty

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - obliczanie granicy ciągu
Obliczyć granicę \lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Granica \lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Oblicz granicę \lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}).
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
   


Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2019 r.