Logo Serwisu Media Nauka


Granica niewłaściwa ciągu

Nie wszystkie granice ciągów są zbieżne. Spójrzmy na poniższe przykłady.

Przykład Przykład

Ciąg (2,4,8,...,2n,...) nie jest zbieżny.
Ciąg (1,4,9,16,...,n2,...) również nie jest zbieżny.

Teoria O ciągach, które nie mają granicy mówimy, że są rozbieżne lub mają granice niewłaściwe.

Definicja Definicja

Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności i piszemy

\lim_{n\to\infty}(a_n)=\infty

jeżeli

\lim_{n\to\infty}(a_n)=\infty\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{M\in{R}}\bigvee\limits_{n_0\in{N_{+}}}\bigwedge\limits_{n\in{N_{+}}}(n>n_0\Rightarrow{a_n>M})

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności (ma granicę niewłaściwą nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M".

Definicja Definicja

Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności i piszemy

\lim_{n\to\infty}(a_n)=-\infty

jeżeli

\lim_{n\to\infty}(a_n)=-\infty\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{M\in{R}}\bigvee\limits_{n_0\in{N_{+}}}\bigwedge\limits_{n\in{N_{+}}}(n>n_0\Rightarrow{a_n}<M)

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności (ma granicę niewłaściwą minus nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od M".

Przykłady ciągów rozbieżnych i ich granice:

Ciąg (an)Granica
an = n\lim_{n\to\infty}n=\infty
an = -n\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty
an = 5 n\lim_{n\to\infty}5^n=\infty
an = n 3\lim_{n\to\infty}n^3=\infty

© Media Nauka, 2009-08-30, ART-311





Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy