Granica niewłaściwa ciągu

Nie wszystkie granice ciągów są zbieżne. Spójrzmy na poniższe przykłady.

Przykład Przykład

Ciąg (2,4,8,...,2n,...) nie jest zbieżny.
Ciąg (1,4,9,16,...,n2,...) również nie jest zbieżny.

Teoria O ciągach, które nie mają granicy mówimy, że są rozbieżne lub mają granice niewłaściwe.

Definicja Definicja

Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności i piszemy

\lim_{n\to\infty}(a_n)=\infty

jeżeli

\lim_{n\to\infty}(a_n)=\infty\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{M\in{R}}\bigvee\limits_{n_0\in{N_{+}}}\bigwedge\limits_{n\in{N_{+}}}(n>n_0\Rightarrow{a_n>M})

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności (ma granicę niewłaściwą nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M".

Definicja Definicja

Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności i piszemy

\lim_{n\to\infty}(a_n)=-\infty

jeżeli

\lim_{n\to\infty}(a_n)=-\infty\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{M\in{R}}\bigvee\limits_{n_0\in{N_{+}}}\bigwedge\limits_{n\in{N_{+}}}(n>n_0\Rightarrow{a_n}<M)

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności (ma granicę niewłaściwą minus nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od M".

Przykłady ciągów rozbieżnych i ich granice:

Ciąg (an)Granica
an = n\lim_{n\to\infty}n=\infty
an = -n\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty
an = 5 n\lim_{n\to\infty}5^n=\infty
an = n 3\lim_{n\to\infty}n^3=\infty




© medianauka.pl, 2009-08-30, ART-311





Polecamy w naszym sklepie

Matematyka Część 3 Liczby zespolone Wektory macierze Wyznaczniki Geometria analityczna i różniczkowa
Algebra
Kolorowe skarpetki - Lollypop
Tuba Pitagorasa
Kolorowe skarpetki - kolorowe grochy
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.