Granica niewłaściwa ciągu

Nie wszystkie granice ciągów są zbieżne. Spójrzmy na poniższe przykłady.

Przykład

Ciąg (2,4,8,...,2ⁿ,...) nie jest zbieżny.
Ciąg (1,4,9,16,...,n²,...) również nie jest zbieżny.

O ciągach, które nie mają granicy mówimy, że są rozbieżne lub mają granice niewłaściwe.

Definicja

Ciąg (a_n) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności i piszemy

$\lim_{n\to\infty}(a_n)=\infty$

jeżeli

$\lim_{n\to\infty}(a_n)=\infty\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{M\in{R}}\bigvee\limits_{n_0\in{N_{+}}}\bigwedge\limits_{n\in{N_{+}}}(n>n_0\Rightarrow{a_n>M})$

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (a_n) nazywamy rozbieżnym do nieskończoności (ma granicę niewłaściwą nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M".

Definicja

Ciąg (a_n) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności i piszemy

$\lim_{n\to\infty}(a_n)=-\infty$

jeżeli

$\lim_{n\to\infty}(a_n)=-\infty\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{M\in{R}}\bigvee\limits_{n_0\in{N_{+}}}\bigwedge\limits_{n\in{N_{+}}}(n>n_0\Rightarrow{a_n}<M)$

Powyższą definicję możemy przeczytać następująco: "Ciąg (a_n) nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności (ma granicę niewłaściwą minus nieskończoność), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od M".

Przykłady ciągów rozbieżnych i ich granice:

Ciąg (a_n)	Granica
a_n = n	$\lim_{n\to\infty}n=\infty$
a_n = -n	$\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty$
a_n = 5 ⁿ	$\lim_{n\to\infty}5^n=\infty$
a_n = n ³	$\lim_{n\to\infty}n^3=\infty$