Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna

Treść zadania:

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\).

Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie \(x_0\) i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną ilorazu zgodnie ze wzorem:

\([\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\)

Mamy więc:

\(f'(x)=(\frac{2x}{x^2+1})'=\frac{(2x)'(x^2+1)-2x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}\)

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

\(f'(x)=0\)

\(\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}=0\)

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

\(-2x^2+2=0/:(-2)\)

\(x^2-1=0\)

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

\((x-1)(x+1)=0\)

W punktach \(-1\) i \(1\) funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:

\
\((-\infty;-1)\)\(-1\)\((-1;1)\)\(1\)\((1;+\infty)\)
\(f'(x)\)-0+0-
\(f(x)\)\(\searrow\)min\(\nearrow\)max\(\searrow\)

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.

Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:

\(f_{min}(-1)=\frac{2\cdot (-1)}{(-1)^2+1}=\frac{-2}{2}=-1\)

\(f_{max}(1)=\frac{2\cdot 1}{1^2+1}=\frac{2}{2}=1\)

ksiązki Odpowiedź

Funkcja posiada jedno maksimum w punkcie \(1\) równe \(1\) oraz jedno minimum w punkcie \(-1\) równe \(-1\).

© medianauka.pl, 2010-09-25, ZAD-935

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x-\frac{1}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x+\frac{1}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.