Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna


Znaleźć ekstremum funkcji f(x)=\frac{2x}{x^2+1}.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow -2x^2+2=0/:(-2)\\ x^2-1=0\\ (x-1)(x+1)=0

(-∞;-1)-1(-1;1)1(1;+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)\nearrowmax\searrowmin\nearrow

f(-1)=-1\\ f(1)=1

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja f(x)=\frac{2x}{x^2+1}

Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną ilorazu zgodnie ze wzorem:

[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Mamy więc

f'(x)=(\frac{2x}{x^2+1})'=\frac{(2x)'(x^2+1)-2x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

f'(x)=0\\ \frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}=0

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

-2x^2+2=0/:(-2)\\ x^2-1=0

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(x-1)(x+1)=0

W punktach -1 i 1 funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:

Sporządzamy wykres (jest to parabola o dwóch miejscach zerowych -1 i 1, ramiona są skierowane w górę, gdyż współczynnik przy x2 jest dodatni), z którego odczytujemy przedziały, w których funkcja przyjmuje dodatnie i ujemne wartości.

Rysunek pomocniczy

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:

(-∞;-1)-1(-1;1)1(1;+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)\nearrowmax\searrowmin\nearrow

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x1 przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, a w punkcie x2 przechodzi w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum

Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:

f_{max}(-1)=\frac{2\cdot (-1)}{(-1)^2+1}=\frac{-2}{2}=-1\\ f_{min}(1)=\frac{2\cdot 1}{1^2+1}=\frac{2}{2}=1

ksiązki Odpowiedź

Funkcja posiada jedno maksimum w punkcie -1 równe -1 oraz jedno minimum w punkcie 1 równe 1.

© medianauka.pl, 2010-09-25, ZAD-935





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.