Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji a ekstremum

Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna

Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ .

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x₀ i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną ilorazu zgodnie ze wzorem:

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Mamy więc

$f'(x)=(\frac{2x}{x^2+1})'=\frac{(2x)'(x^2+1)-2x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}$

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

$f'(x)=0\\ \frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}=0$

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

$-2x^2+2=0/:(-2)\\ x^2-1=0$

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

W punktach -1 i 1 funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:

(-∞;-1)	-1	(-1;1)	1	(1;+∞)
-	0	+	0	-
$\searrow$	min	$\nearrow$	max	$\searrow$

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji.

Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:

$f_{min}(-1)=\frac{2\cdot (-1)}{(-1)^2+1}=\frac{-2}{2}=-1\\ f_{max}(1)=\frac{2\cdot 1}{1^2+1}=\frac{2}{2}=1$

Odpowiedź

Funkcja posiada jedno maksimum w punkcie 1 równe 1 oraz jedno minimum w punkcie -1 równe -1.

Zadania podobne

Zadanie - badanie ekstremum funckji
Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna
Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=2x-\frac{1}{x}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ekstremum funkcji a pochodna
Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=2x+\frac{1}{x}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - największa i najmniejsza wartośćfunkcji
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=3x+\frac{1}{x}$ w przedziale <-1;1>.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.