Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji a ekstremum Największa i najmniejsza wartość funkcji

Zadanie - największa i najmniejsza wartośćfunkcji

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=3x+\frac{1}{x}$ w przedziale <-1;1>.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=3-\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{3x^2-1}{x^2}=0\\ 3x^2-1=0/:3\\ x^2-\frac{1}{3}=0\\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0 \\ (x-\frac{\sqrt{3}}{3})(x+\frac{\sqrt{3}}{3})=0$

$(-\infty;-\frac{\sqrt{3}}{3})$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3})$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$(\frac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$
+	0	-	0	+
$\nearrow$	max	$\searrow$	min	$\nearrow$

$f(-\frac{\sqrt{3}}{3})=3\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3})-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}\approx -3,46$
$f(\frac{\sqrt{3}}{3})=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\approx 3,46$
$f(-1)=3\cdot (-1)-1=-4// f(1)=3\cdot 1+1=4\\ f_{min}=-4\\ f_{max}=4$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja $f(x)=3x+\frac{1}{x}$

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale <-1;1> musimy znaleźć w pierwszej kolejności ekstremum funkcji. Musimy więc wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x₀ i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero.

$f'(x)=(3x+\frac{1}{x})'=(3x+x^{-1})'=3+(-1)x^{-1-1}=3-x^{-2}=3-\frac{1}{x^2}$

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

$f'(x)=0\\ 3-\frac{1}{x^2}=0\\ 3\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{3x^2-1}{x^2}=0$

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

$3x^2-1=0/:3\\ x^2-\frac{1}{3}=0$

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$x^2-(\sqrt{\frac{1}{3}})^2=0\\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0$

Przyjrzyjmy się pierwiastkom:

$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58\\ -\frac{\sqrt{3}}{3}\approx -0,58$

Punkty te należą do rozpatrywanego przedziału, w którym szukamy najmniejszej oraz największej wartości.

W punktach tych funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:

Sporządzamy wykres (jest to parabola o dwóch miejscach zerowych, ramiona są skierowane w górę, gdyż współczynnik przy x² jest dodatni), z którego odczytujemy przedziały, w których pochodna funkcji przyjmuje dodatnie i ujemne wartości.

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:

$(-\infty;-\frac{\sqrt{3}}{3})$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3})$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$(\frac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$
+	0	-	0	+
$\nearrow$	max	$\searrow$	min	$\nearrow$

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x₁ przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, a w punkcie x₂ przechodzi w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum

Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:

$f(-\frac{\sqrt{3}}{3})=\cancel{3}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{\cancel{3}})-\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=-\sqrt{3}-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=-\sqrt{3}-\frac{\cancel{3}\cdot \sqrt{3}}{\cancel{3}}=-2\sqrt{3}\approx -3,46\\ f(\frac{\sqrt{3}}{3})=\cancel{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\cancel{3}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\sqrt{3}+\frac{\cancel{3}\cdot \sqrt{3}}{\cancel{3}}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\approx 3,46$

Musimy jeszcze sprawdzić jaką wartość funkcja posiada na krańcach przedziałów:

$f(-1)=3\cdot (-1)+\frac{1}{-1}=-4\\ f(1)=3\cdot 1+\frac{1}{1}=3+1=4$

Widzimy, że największa wartość funkcji w rozpatrywanym przedziale to nie jest maksimum funkcji, a minimum wcale nie jest najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale.

Odpowiedź

Największa wartość funkcji w przedziale to 4, a najmniejsza to -4.

Zadania podobne

Zadanie - największa i najmniejsza wartość funkcji
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=1+\frac{x^2}{x+2}$ w przedziale <-3/2;0>.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.