Zadanie - największa i najmniejsza wartośćfunkcji

Rozwiązanie zadania uproszczone

![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | + | 0 | - | 0 | + |
![]() | ![]() | max | ![]() | min | ![]() |



Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Dana jest funkcja
Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale <-1;1> musimy znaleźć w pierwszej kolejności ekstremum funkcji. Musimy więc wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero.

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:


Przyjrzyjmy się pierwiastkom:

Punkty te należą do rozpatrywanego przedziału, w którym szukamy najmniejszej oraz największej wartości.
W punktach tych funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:
Sporządzamy wykres (jest to parabola o dwóch miejscach zerowych, ramiona są skierowane w górę, gdyż współczynnik przy x2 jest dodatni), z którego odczytujemy przedziały, w których pochodna funkcji przyjmuje dodatnie i ujemne wartości.

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | + | 0 | - | 0 | + |
![]() | ![]() | max | ![]() | min | ![]() |
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x1 przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, a w punkcie x2 przechodzi w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum
Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:

Musimy jeszcze sprawdzić jaką wartość funkcja posiada na krańcach przedziałów:

Widzimy, że największa wartość funkcji w rozpatrywanym przedziale to nie jest maksimum funkcji, a minimum wcale nie jest najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-25, ZAD-936
Zadania podobne

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania