Zadanie - największa i najmniejsza wartośćfunkcji
Treść zadania:
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).
Rozwiązanie zadania
Dana jest funkcja \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\)
Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale \(<-1;1>\) musimy znaleźć w pierwszej kolejności ekstremum funkcji. Musimy więc wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie \(x_0\)i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero.
\(f'(x)=(3x+\frac{1}{x})'=(3x+x^{-1})'=3+(-1)x^{-1-1}=3-x^{-2}=3-\frac{1}{x^2}\)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:
\(f'(x)=0\)
\(3-\frac{1}{x^2}=0\)
\(3\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}=0\)
\(\frac{3x^2-1}{x^2}=0\)
Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:
\(3x^2-1=0/:3\)
\(x^2-\frac{1}{3}=0\)
Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)\(x^2-(\sqrt{\frac{1}{3}})^2=0\)
\((x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0\)
Przyjrzyjmy się pierwiastkom:
\(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58\)
\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx -0,58\)
Punkty te należą do rozpatrywanego przedziału, w którym szukamy najmniejszej oraz największej wartości.
W punktach tych funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:
Sporządzamy wykres (jest to parabola o dwóch miejscach zerowych, ramiona są skierowane w górę, gdyż współczynnik przy \(x^2\)jest dodatni), z którego odczytujemy przedziały, w których pochodna funkcji przyjmuje dodatnie i ujemne wartości.
Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:
+0-0+maxminW pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie \(x_1\) przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, a w punkcie \(x_2\) przechodzi w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum
Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:
\(f(-\frac{\sqrt{3}}{3})=\cancel{3}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{\cancel{3}})-\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=-\sqrt{3}-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=-\sqrt{3}-\frac{\cancel{3}\cdot \sqrt{3}}{\cancel{3}}=-2\sqrt{3}\approx -3,46\)
\(f(\frac{\sqrt{3}}{3})=\cancel{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\cancel{3}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\sqrt{3}+\frac{\cancel{3}\cdot \sqrt{3}}{\cancel{3}}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\approx 3,46\)
Musimy jeszcze sprawdzić jaką wartość funkcja posiada na krańcach przedziałów:
\(f(-1)=3\cdot (-1)+\frac{1}{-1}=-4\)
\(f(1)=3\cdot 1+\frac{1}{1}=3+1=4\)
Widzimy, że największa wartość funkcji w rozpatrywanym przedziale to nie jest maksimum funkcji, a minimum wcale nie jest najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale.
Odpowiedź
Największa wartość funkcji w przedziale to 4, a najmniejsza to -4.© medianauka.pl, 2010-09-25, ZAD-936
Zadania podobne
Zadanie nr 5 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).
1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).
2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).