Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - największa i najmniejsza wartośćfunkcji


Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x)=3x+\frac{1}{x} w przedziale <-1;1>.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=3-\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{3x^2-1}{x^2}=0\\ 3x^2-1=0/:3\\ x^2-\frac{1}{3}=0\\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0 \\ (x-\frac{\sqrt{3}}{3})(x+\frac{\sqrt{3}}{3})=0

(-\infty;-\frac{\sqrt{3}}{3})-\frac{\sqrt{3}}{3}(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3})\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{3};+\infty)
f'(x)+0-0+
f(x)\nearrowmax\searrowmin\nearrow

f(-\frac{\sqrt{3}}{3})=3\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3})-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}\approx -3,46
f(\frac{\sqrt{3}}{3})=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\approx 3,46
f(-1)=3\cdot (-1)-1=-4// f(1)=3\cdot 1+1=4\\ f_{min}=-4\\ f_{max}=4

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja f(x)=3x+\frac{1}{x}

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale <-1;1> musimy znaleźć w pierwszej kolejności ekstremum funkcji. Musimy więc wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero.

f'(x)=(3x+\frac{1}{x})'=(3x+x^{-1})'=3+(-1)x^{-1-1}=3-x^{-2}=3-\frac{1}{x^2}

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

f'(x)=0\\ 3-\frac{1}{x^2}=0\\ 3\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{3x^2-1}{x^2}=0

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

3x^2-1=0/:3\\ x^2-\frac{1}{3}=0

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

x^2-(\sqrt{\frac{1}{3}})^2=0\\ (x-\sqrt{\frac{1}{3}})(x+\sqrt{\frac{1}{3}})=0

Przyjrzyjmy się pierwiastkom:

\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58\\ -\frac{\sqrt{3}}{3}\approx -0,58

Punkty te należą do rozpatrywanego przedziału, w którym szukamy najmniejszej oraz największej wartości.

W punktach tych funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:

Sporządzamy wykres (jest to parabola o dwóch miejscach zerowych, ramiona są skierowane w górę, gdyż współczynnik przy x2 jest dodatni), z którego odczytujemy przedziały, w których pochodna funkcji przyjmuje dodatnie i ujemne wartości.

Rysunek pomocniczy

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:

(-\infty;-\frac{\sqrt{3}}{3})-\frac{\sqrt{3}}{3}(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3})\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{3};+\infty)
f'(x)+0-0+
f(x)\nearrowmax\searrowmin\nearrow

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x1 przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, a w punkcie x2 przechodzi w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum

Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:

f(-\frac{\sqrt{3}}{3})=\cancel{3}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{\cancel{3}})-\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=-\sqrt{3}-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=-\sqrt{3}-\frac{\cancel{3}\cdot \sqrt{3}}{\cancel{3}}=-2\sqrt{3}\approx -3,46\\  f(\frac{\sqrt{3}}{3})=\cancel{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\cancel{3}}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\sqrt{3}+\frac{\cancel{3}\cdot \sqrt{3}}{\cancel{3}}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\approx 3,46

Musimy jeszcze sprawdzić jaką wartość funkcja posiada na krańcach przedziałów:

f(-1)=3\cdot (-1)+\frac{1}{-1}=-4\\ f(1)=3\cdot 1+\frac{1}{1}=3+1=4

Widzimy, że największa wartość funkcji w rozpatrywanym przedziale to nie jest maksimum funkcji, a minimum wcale nie jest najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale.

ksiązki Odpowiedź

Największa wartość funkcji w przedziale to 4, a najmniejsza to -4.

© medianauka.pl, 2010-09-25, ZAD-936


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.