Nauka » Matematyka » Największa i najmniejsza wartość funkcji

Zadanie - największa i najmniejsza wartość funkcji

Treść zadania:

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=1+\frac{x^2}{x+2}$ w przedziale $\langle -\frac{3}{2};0\rangle$.

Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja $f(x)=1+\frac{x^2-1}{x+2}$

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale $<-3/2;0>$ musimy znaleźć w pierwszej kolejności ekstremum funkcji. Musimy więc wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie $x_0$i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero.

$f'(x)=(1+\frac{x^2}{x+2})'=0+\frac{(x^2)'(x+2)-x^2(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{2x(x+2)-x^2}{(x+2)^2}=$

$=\frac{2x^2+4x-x^2}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}= \frac{x(x+4)}{(x+2)^2}$

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

$f'(x)=0$

$\frac{x(x+4)}{(x+2)^2}=0$

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

$x(x+4)=0$

$x_1=-4,\ x_2=0$

Punkt $x_2$ należy do rozpatrywanego przedziału, w którym szukamy najmniejszej oraz największej wartości.

W punkcie tym funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tego punktu:

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:

(-∞-4)	-4	(-4;0)	0	(0;+∞)
+	0	-	0	+
$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie $x_1=-4$ przechodzi w "grzbiet" (posiada maksimum, ale punkt ten jest poza rozpatrywanym przedziałem) i w $x_2$ w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum.

Musimy więc sprawdzić jaką wartość funkcja posiada na krańcach przedziału:

$f(-\frac{3}{2})=1+\frac{(-\frac{3}{2})^2}{-\frac{3}{2}+2}=1+\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{2}} =1+\frac{9}{4}\cdot \frac{2}{1}=5,5$

$f(0)=1+0=1$

$f_{max}=5,5$

$f_{min}=1$

Odpowiedź

Największa wartość funkcji w przedziale to 5,5, a najmniejsza to 1.

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=3x+\frac{1}{x}$ w przedziale $\langle-1;1\rangle$.

Pokaż rozwiązanie zadania.