Zadanie - największa i najmniejsza wartość funkcji

Rozwiązanie zadania uproszczone

(-∞-4) | -4 | (-4;0) | 0 | (0;+∞) | |
![]() | + | 0 | - | 0 | + |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Dana jest funkcja
Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale <-3/2;0> musimy znaleźć w pierwszej kolejności ekstremum funkcji. Musimy więc wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero.

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

Punkt x2 należy do rozpatrywanego przedziału, w którym szukamy najmniejszej oraz największej wartości.
W punkcie tym funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tego punktu:
Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:
(-∞-4) | -4 | (-4;0) | 0 | (0;+∞) | |
![]() | + | 0 | - | 0 | + |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x1=-4 przechodzi w "grzbiet" (posiada maksimum, ale punkt ten jest poza rozpatrywanym przedziałem) i w x2 w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum.
Musimy więc sprawdzić jaką wartość funkcja posiada na krańcach przedziału:

Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-25, ZAD-938
Zadania podobne

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania