Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - największa i najmniejsza wartość funkcji


Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x)=1+\frac{x^2}{x+2} w przedziale <-3/2;0>.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=\frac{2x(x+2)-x^2}{(x+2)^2}=\frac{2x^2+4x-x^2}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}=\frac{x(x+4)}{(x+2)^2}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow x(x+4)=0\\ x=-4\ lub \ x=0

(-∞-4)-4(-4;0)0(0;+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)\nearrow\searrow\nearrow

f(-\frac{3}{2})=1+\frac{(-\frac{3}{2})^2}{-\frac{3}{2}+2}=1+\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{2}}=1+\frac{9}{4}\cdot \frac{2}{1}=5,5
f(0)=1+0=1\\ f_{max}=5,5\\ f_{min}=1

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja f(x)=1+\frac{x^2-1}{x+2}

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale <-3/2;0> musimy znaleźć w pierwszej kolejności ekstremum funkcji. Musimy więc wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero.

f'(x)=(1+\frac{x^2}{x+2})'=0+\frac{(x^2)'(x+2)-x^2(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{2x(x+2)-x^2}{(x+2)^2}=\\ =\frac{2x^2+4x-x^2}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}=\frac{x(x+4)}{(x+2)^2}

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

f'(x)=0\\ \frac{x(x+4)}{(x+2)^2}=0

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

x(x+4)=0\\ x_1=-4,\ x_2=0

Punkt x2 należy do rozpatrywanego przedziału, w którym szukamy najmniejszej oraz największej wartości.

W punkcie tym funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tego punktu:

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:

(-∞-4)-4(-4;0)0(0;+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)\nearrow\searrow\nearrow

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x1=-4 przechodzi w "grzbiet" (posiada maksimum, ale punkt ten jest poza rozpatrywanym przedziałem) i w x2 w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum.

Musimy więc sprawdzić jaką wartość funkcja posiada na krańcach przedziału:

f(-\frac{3}{2})=1+\frac{(-\frac{3}{2})^2}{-\frac{3}{2}+2}=1+\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{2}}=1+\frac{9}{4}\cdot \frac{2}{1}=5,5\\ f(0)=1+0=1\\ f_{max}=5,5\\ f_{min}=1

ksiązki Odpowiedź

Największa wartość funkcji w przedziale to 5,5, a najmniejsza to 1.

© medianauka.pl, 2010-09-25, ZAD-938





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.