Nauka » Matematyka » Największa i najmniejsza wartość funkcji

Zadanie - największa i najmniejsza wartość funkcji

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=1+\frac{x^2}{x+2}$ w przedziale <-3/2;0>.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=\frac{2x(x+2)-x^2}{(x+2)^2}=\frac{2x^2+4x-x^2}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}=\frac{x(x+4)}{(x+2)^2}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow x(x+4)=0\\ x=-4\ lub \ x=0$

(-∞-4)	-4	(-4;0)	0	(0;+∞)
+	0	-	0	+
$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$

$f(-\frac{3}{2})=1+\frac{(-\frac{3}{2})^2}{-\frac{3}{2}+2}=1+\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{2}}=1+\frac{9}{4}\cdot \frac{2}{1}=5,5$
$f(0)=1+0=1\\ f_{max}=5,5\\ f_{min}=1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja $f(x)=1+\frac{x^2-1}{x+2}$

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale <-3/2;0> musimy znaleźć w pierwszej kolejności ekstremum funkcji. Musimy więc wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x₀ i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero.

$f'(x)=(1+\frac{x^2}{x+2})'=0+\frac{(x^2)'(x+2)-x^2(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{2x(x+2)-x^2}{(x+2)^2}=\\ =\frac{2x^2+4x-x^2}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}=\frac{x(x+4)}{(x+2)^2}$

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

$f'(x)=0\\ \frac{x(x+4)}{(x+2)^2}=0$

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

$x(x+4)=0\\ x_1=-4,\ x_2=0$

Punkt x₂ należy do rozpatrywanego przedziału, w którym szukamy najmniejszej oraz największej wartości.

W punkcie tym funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tego punktu:

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:

(-∞-4)	-4	(-4;0)	0	(0;+∞)
+	0	-	0	+
$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x₁=-4 przechodzi w "grzbiet" (posiada maksimum, ale punkt ten jest poza rozpatrywanym przedziałem) i w x₂ w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum.

Musimy więc sprawdzić jaką wartość funkcja posiada na krańcach przedziału:

$f(-\frac{3}{2})=1+\frac{(-\frac{3}{2})^2}{-\frac{3}{2}+2}=1+\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{2}}=1+\frac{9}{4}\cdot \frac{2}{1}=5,5\\ f(0)=1+0=1\\ f_{max}=5,5\\ f_{min}=1$

Odpowiedź

Największa wartość funkcji w przedziale to 5,5, a najmniejsza to 1.

Zadania podobne

Zadanie - największa i najmniejsza wartośćfunkcji
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=3x+\frac{1}{x}$ w przedziale <-1;1>.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.