Zadanie - ekstremum funkcji a pochodna

Treść zadania:

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x+\frac{1}{x}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dana jest funkcja \(f(x)=2x+\frac{1}{x}\).

Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie \(x_0\) i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną.

\(f'(x)=(2x+\frac{1}{x})'=(2x+x^{-1})'=2-x^{-2}=2-\frac{1}{x^2}\)

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

\(f'(x)=0\)

\(2-\frac{1}{x^2}=0\)

\(2\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}=0\)

\(\frac{2x^2-1}{x^2}=0\)

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

\(x^2-1=0/:2\)

\(x^2-\frac{1}{2}=0\)

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

\(x^2-(\sqrt{\frac{1}{2}})^2=0\)

\((x-\sqrt{\frac{1}{2}})(x +\sqrt{\frac{1}{2}})=0\)

Pozbądźmy się jeszcze niewymierności z mianownika:

\(\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Mamy więc:

\((x-\frac{\sqrt{2}}{2})(x+\frac{\sqrt{2}}{2})=0\)

W punktach \(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\) funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:

Sporządzamy wykres, z którego odczytujemy przedziały, w których funkcja przyjmuje dodatnie i ujemne wartości.

Rysunek pomocniczy

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:

\((-\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2})\)\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)\((-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\((\frac{\sqrt{2}}{2};+\infty)\)
\(f'(x)\)+0-0+
\(f(x)\)\(\nearrow\)max\(\searrow\)min\(\nearrow\)

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie \(x_1\) przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, a w punkcie \(x_2\) przechodzi w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum

Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:

\(f(-\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}\)

\(f(\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\)

ksiązki Odpowiedź

Funkcja posiada jedno maksimum w punkcie \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) równe \(-2\sqrt{2}\) oraz jedno minimum w punkcie \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) równe \(2\sqrt{2}\)

© medianauka.pl, 2010-09-23, ZAD-934

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x-\frac{1}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.