Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji a ekstremum

Zadanie - ekstremum funkcji a pochodna

Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=2x+\frac{1}{x}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=2-\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{2x^2-1}{x^2}=0\\ 2x^2-1=0/:2\\ x^2-\frac{1}{2}=0\\ (x-\sqrt{\frac{1}{2}})(x+\sqrt{\frac{1}{2}})=0\\ \sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ (x-\frac{\sqrt{2}}{2})(x+\frac{\sqrt{2}}{2})=0$

$(-\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2})$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$(\frac{\sqrt{2}}{2};+\infty)$
+	0	-	0	+
$\nearrow$	max	$\searrow$	min	$\nearrow$

$f(-\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}$
$f(\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja $f(x)=2x+\frac{1}{x}$

Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x₀ i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną.

$f'(x)=(2x+\frac{1}{x})'=(2x+x^{-1})'=2-x^{-2}=2-\frac{1}{x^2}$

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

$f'(x)=0\\ 2-\frac{1}{x^2}=0\\ 2\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}=0\\ \frac{2x^2-1}{x^2}=0$

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

$x^2-1=0/:2\\ x^2-\frac{1}{2}=0$

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$x^2-(\sqrt{\frac{1}{2}})^2=0\\ (x-\sqrt{\frac{1}{2}})(x+\sqrt{\frac{1}{2}})=0$

Pozbądźmy się jeszcze niewymierności z mianownika:

$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Mamy więc:

$(x-\frac{\sqrt{2}}{2})(x+\frac{\sqrt{2}}{2})=0$

W punktach $-\frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}$ funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:

Sporządzamy wykres, z którego odczytujemy przedziały, w których funkcja przyjmuje dodatnie i ujemne wartości.

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:

$(-\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2})$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$(\frac{\sqrt{2}}{2};+\infty)$
+	0	-	0	+
$\nearrow$	max	$\searrow$	min	$\nearrow$

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x₁ przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, a w punkcie x₂ przechodzi w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum

Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:

$f(-\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}\\ f(\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$