Zadanie - ekstremum funkcji a pochodna
Treść zadania:
Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x+\frac{1}{x}\).
Rozwiązanie zadania
Dana jest funkcja \(f(x)=2x+\frac{1}{x}\).
Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie \(x_0\) i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną.
\(f'(x)=(2x+\frac{1}{x})'=(2x+x^{-1})'=2-x^{-2}=2-\frac{1}{x^2}\)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:
\(f'(x)=0\)
\(2-\frac{1}{x^2}=0\)
\(2\cdot \frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}=0\)
\(\frac{2x^2-1}{x^2}=0\)
Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:
\(x^2-1=0/:2\)
\(x^2-\frac{1}{2}=0\)
Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
\(x^2-(\sqrt{\frac{1}{2}})^2=0\)
\((x-\sqrt{\frac{1}{2}})(x +\sqrt{\frac{1}{2}})=0\)
Pozbądźmy się jeszcze niewymierności z mianownika:
\(\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Mamy więc:
\((x-\frac{\sqrt{2}}{2})(x+\frac{\sqrt{2}}{2})=0\)
W punktach \(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\) funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:
Sporządzamy wykres, z którego odczytujemy przedziały, w których funkcja przyjmuje dodatnie i ujemne wartości.
Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:
| \((-\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2})\) | \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \((-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \((\frac{\sqrt{2}}{2};+\infty)\) | |
| \(f'(x)\) | + | 0 | - | 0 | + |
| \(f(x)\) | \(\nearrow\) | max | \(\searrow\) | min | \(\nearrow\) |
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie \(x_1\) przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, a w punkcie \(x_2\) przechodzi w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum
Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:
\(f(-\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-2\sqrt{2}\)
\(f(\frac{\sqrt{2}}{2})=2\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-09-23, ZAD-934
Zadania podobne
Zadanie nr 4.
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).
1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).
2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).