Zadanie - ekstremum funkcji a pochodna

Rozwiązanie zadania uproszczone

![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | + | 0 | - | 0 | + |
![]() | ![]() | max | ![]() | min | ![]() |


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Dana jest funkcja
Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną.

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:


Pozbądźmy się jeszcze niewymierności z mianownika:

Mamy więc:

W punktach funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach tych punktów:
Sporządzamy wykres, z którego odczytujemy przedziały, w których funkcja przyjmuje dodatnie i ujemne wartości.

Sporządzamy tabelkę zmienności pochodnej oraz funkcji:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | + | 0 | - | 0 | + |
![]() | ![]() | max | ![]() | min | ![]() |
W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x1 przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum, a w punkcie x2 przechodzi w "dolinę", ma więc w tym miejscu minimum
Aby znaleźć to maksimum i minimum musimy obliczyć wartość funkcji w tych punktach:

Odpowiedź




© medianauka.pl, 2010-09-23, ZAD-934
Zadania podobne

Znaleźć ekstremum funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć ekstremum funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć ekstremum funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji

Pokaż rozwiązanie zadania

Parabola o równaniu


Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Pokaż rozwiązanie zadania