Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - badanie ekstremum funckji


Znaleźć ekstremum funkcji f(x)=\sqrt{1-x^2}.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow x=0\\ f(0)=\sqrt{1-0}=1\\ \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}>0\Leftrightarrow -x>0 \Leftrightarrow x<0\\ \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}<0\Leftrightarrow -x<0 \Leftrightarrow x>0
(-∞;0)0(0;+∞)
f'(x)+0-
f(x)\nearrowmax
1
\searrow

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja f(x)=\sqrt{1-x^2}

Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną. Mamy tutaj do czynienia z pochodną funkcji złożonej.

f'(x)=(\sqrt{1-x^2})'=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (1-x^2)'=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)=\frac{-\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

f'(x)=0\\ \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=0

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

-x=0\/:(-1)\\ x=0

W punkcie x0 funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach x0:

\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}>0\\ -x>0/:(-1)\\ x<0

Skąd się wziął krok w obliczeniach zaznaczony na żółto? Otóż mianownik ułamka jest dodatni, gdyż pierwiastek przyjmuje tylko dodatnie wartości. Skoro cały ułamek ma być dodatni, a mianownik jest dodatni, to licznik, czyli -x również musi być większy od zera.

Wyznaczyliśmy przedział, w którym pochodna jest dodatnia. Sprawdzimy teraz dla jakich wartości x pochodna przyjmuje ujemne wartości:

\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}<0\\ -x<0/:(-1)\\ x>0

Widać, że pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, mamy więc do czynienia w punkcie x0=0 z maksimum równym:

f(0)=\sqrt{1-0^2}=1

Można się jeszcze posilić tabelką zmienności funkcji i jej pochodnej. W bardziej skomplikowanych zadaniach ułatwia określenie występowania ekstremum.

(-∞;0)0(0;+∞)
f'(x)+0-
f(x)\nearrowmax
1
\searrow

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x0 przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum równe 1


ksiązki Odpowiedź

Funkcja posiada jedno maksimum w punkcie x0=0 równe 1.

© medianauka.pl, 2010-09-22, ZAD-932





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.