Nauka » Matematyka » Pochodna funkcji a ekstremum

Zadanie - badanie ekstremum funckji

Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow x=0\\ f(0)=\sqrt{1-0}=1\\ \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}>0\Leftrightarrow -x>0 \Leftrightarrow x<0\\ \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}<0\Leftrightarrow -x<0 \Leftrightarrow x>0$

(-∞;0)	0	(0;+∞)
+	0	-
$\nearrow$	max 1	$\searrow$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dana jest funkcja $f(x)=\sqrt{1-x^2}$

Aby znaleźć ekstremum funkcji musimy wytypować punkty, w których należy ich szukać. Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie x₀ i ma w tym punkcie pochodną, to jest ona równa zero. Obliczamy pochodną. Mamy tutaj do czynienia z pochodną funkcji złożonej.

$f'(x)=(\sqrt{1-x^2})'=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (1-x^2)'=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)=\frac{-\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, jak już wcześniej wspomnieliśmy, jest to, aby pochodna była równa zeru:

$f'(x)=0\\ \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=0$

Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero:

$-x=0\/:(-1)\\ x=0$

W punkcie x₀ funkcja może posiadać ekstremum. Aby stwierdzić czy posiada i czy jest to minimum czy maksimum sprawdzimy znak pochodnej po obu stronach x₀:

$\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}>0\\ -x>0/:(-1)\\ x<0$

Skąd się wziął krok w obliczeniach zaznaczony na żółto? Otóż mianownik ułamka jest dodatni, gdyż pierwiastek przyjmuje tylko dodatnie wartości. Skoro cały ułamek ma być dodatni, a mianownik jest dodatni, to licznik, czyli -x również musi być większy od zera.

Wyznaczyliśmy przedział, w którym pochodna jest dodatnia. Sprawdzimy teraz dla jakich wartości x pochodna przyjmuje ujemne wartości:

$\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}<0\\ -x<0/:(-1)\\ x>0$

Widać, że pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, mamy więc do czynienia w punkcie x₀=0 z maksimum równym:

$f(0)=\sqrt{1-0^2}=1$

Można się jeszcze posilić tabelką zmienności funkcji i jej pochodnej. W bardziej skomplikowanych zadaniach ułatwia określenie występowania ekstremum.

(-∞;0)	0	(0;+∞)
+	0	-
$\nearrow$	max 1	$\searrow$

W pierwszym rzędzie zaznaczamy przedziały zmienności oraz punkty, w których spodziewamy się ekstremum. W drugim rzędzie zaznaczamy znak pochodnej oraz jej wartość, w trzecim rzędzie za pomocą strzałek zaznaczamy, czy funkcja rośnie czy maleje. Pozwala to wyobrazić sobie przebieg funkcji. Tutaj widać, że funkcja w punkcie x₀ przechodzi w "grzbiet", ma więc w tym miejscu maksimum równe 1

Odpowiedź

Funkcja posiada jedno maksimum w punkcie x₀=0 równe 1.

Zadania podobne

Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna
Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=2x-\frac{1}{x}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ekstremum funkcji a pochodna
Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=2x+\frac{1}{x}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - ekstremum funkcji i pochodna
Znaleźć ekstremum funkcji $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - największa i najmniejsza wartośćfunkcji
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=3x+\frac{1}{x}$ w przedziale <-1;1>.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.