Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - odległość punktu od figury


Obliczyć odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)

Szukane:|MN|.

1) Szukamy równania prostej y=a1x+b1, wyznaczonej przez A, B

\underline{ - \ \ \ \begin{cases} 0=-a_1+b_1\\ -1=5a_1+b_1\end{cases}}\\ 1=-6a_1/:(-6)\\a_1=-\frac{1}{6}\\ b_1=-\frac{1}{6}\\ y=-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}

2) Szukamy równania prostej y=a2x+b2.
a_2=-\frac{1}{-\frac{1}{6}}=6\\ y=6x+b_2
2=6+b_2\\ b_2=-4\\ y=6x-4

3) Szukamy współrzędnych punktu N.

\begin{cases}y=-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}\\ y=6x-4\end{cases} \\ -6x-4=-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}/\cdot 6\\ 36x-24=-x-1\\ 35x=23/:35\\ x=\frac{23}{35}\\ y=6x-4\\ y=6\cdot \frac{23}{37}-4\\ y=-\frac{10}{37}
|MN|=\sqrt{(\frac{23}{37}-1)^2+(-\frac{10}{37}-2)^2}=2\frac{11}{37}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Odległość punktu od niepustej figury jest to długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu, wewnątrz którego nie znajduje się żaden punkt ten figury. Sporządzamy rysunek.

odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)

Otoczenie punktu M, o którym mowa jest zaznaczone na niebiesko (okrąg). Szukamy odległości |MN|. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu B.

Punkt N jest punktem przecięcia się prostej wyznaczonej przez punkty A, B (oznaczmy równanie tej prostej przez y=a1x+b1) i prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez punkt N. Prostą tę oznaczamy następująco: y=a2x+b2. Musimy znaleźć współczynniki a i b obu prostych

1) Szukamy równania prostej y=a1x+b1

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkty A=(-1,0) oraz B=5,-1. Podstawiamy do równania prostej współrzędne tych punktów i rozwiązujemy układ równań:

y=a_1x+b_1\\ \begin{cases} 0=a_1\cdot (-1)+b_1\\ -1=a_1\cdot 5+b_1\end{cases} \\ \underline{ - \ \ \ \begin{cases} 0=-a_1+b_1\\ -1=5a_1+b_1\end{cases}}\\ 1=-6a_1/:(-6)\\a_1=-\frac{1}{6}\\ 0=-a_1+b_1\\ a_1=b_1\\ b_1=-\frac{1}{6}\\ y=-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}

2) Szukamy równania prostej y=a2x+b2. Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

a_1=-\frac{1}{a_2}

Mamy więc:

a_2=-\frac{1}{-\frac{1}{6}}=6\\ y=6x+b_2

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt M=(1,2). Podstawiamy do równania prostej współrzędne punktu i rozwiązujemy równanie:

2=6\cdot 1+b_2\\ 2-6=b_2\\ b_2=-4\\ y=6x-4

3) Szukamy współrzędnych punktu N. Punkt ten jest miejscem przecięcia się wyznaczonych wyżej prostych. Wystarczy więc rozwiązać układ równań:

\begin{cases}y=-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}\\ y=6x-4\end{cases} \\ -6x-4=-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}/\cdot 6\\ 36x-24=-x-1\\ 35x=23/:35\\ x=\frac{23}{35}\\ y=6x-4\\ y=6\cdot \frac{23}{37}-4\\ y=\frac{138-148}{37}=-\frac{10}{37}

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktu N. Możemy już obliczyć odległość |MN|

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B) w układzie współrzędnych:

z=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: M=(1,2), N=(\frac{23}{37}, -\frac{10}{37}). Korzystamy z powyższego wzoru:

|MN|=\sqrt{(\frac{23}{37}-1)^2+(-\frac{10}{37}-2)^2}=\sqrt{(\frac{13}{37})^2+(\frac{84}{37})^2}=\sqrt{\frac{169+7036}{37}}=\frac{\sqrt{7225}}{37}=\frac{85}{37}=2\frac{11}{37}

ksiązki Odpowiedź

|MN|=2\frac{11}{37}

© medianauka.pl, 2011-01-01, ZAD-1065





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.