Nauka » Matematyka » Odległość punktu od figury

Zadanie - odległość punktu od figury

Obliczyć odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)

Rozwiązanie zadania uproszczone

Szukane:|MN|.

1) Szukamy równania prostej y=a₁x+b₁, wyznaczonej przez A, B

$\underline{ - \ \ \ \begin{cases} 0=-a_1+b_1\\ -1=5a_1+b_1\end{cases}}\\ 1=-6a_1/:(-6)\\a_1=-\frac{1}{6}\\ b_1=-\frac{1}{6}\\ y=-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}$

2) Szukamy równania prostej y=a₂x+b₂.
$a_2=-\frac{1}{-\frac{1}{6}}=6\\ y=6x+b_2$
$2=6+b_2\\ b_2=-4\\ y=6x-4$

3) Szukamy współrzędnych punktu N.

$\begin{cases}y=-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}\\ y=6x-4\end{cases} \\ -6x-4=-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}/\cdot 6\\ 36x-24=-x-1\\ 35x=23/:35\\ x=\frac{23}{35}\\ y=6x-4\\ y=6\cdot \frac{23}{37}-4\\ y=-\frac{10}{37}$
$|MN|=\sqrt{(\frac{23}{37}-1)^2+(-\frac{10}{37}-2)^2}=2\frac{11}{37}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Odległość punktu od niepustej figury jest to długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu, wewnątrz którego nie znajduje się żaden punkt ten figury. Sporządzamy rysunek.

Otoczenie punktu M, o którym mowa jest zaznaczone na niebiesko (okrąg). Szukamy odległości |MN|. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu B.

Punkt N jest punktem przecięcia się prostej wyznaczonej przez punkty A, B (oznaczmy równanie tej prostej przez y=a₁x+b₁) i prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez punkt N. Prostą tę oznaczamy następująco: y=a₂x+b₂. Musimy znaleźć współczynniki a i b obu prostych

1) Szukamy równania prostej y=a₁x+b₁

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkty A=(-1,0) oraz B=5,-1. Podstawiamy do równania prostej współrzędne tych punktów i rozwiązujemy układ równań:

$y=a_1x+b_1\\ \begin{cases} 0=a_1\cdot (-1)+b_1\\ -1=a_1\cdot 5+b_1\end{cases} \\ \underline{ - \ \ \ \begin{cases} 0=-a_1+b_1\\ -1=5a_1+b_1\end{cases}}\\ 1=-6a_1/:(-6)\\a_1=-\frac{1}{6}\\ 0=-a_1+b_1\\ a_1=b_1\\ b_1=-\frac{1}{6}\\ y=-\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}$

2) Szukamy równania prostej y=a₂x+b₂. Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Mamy więc:

$a_2=-\frac{1}{-\frac{1}{6}}=6\\ y=6x+b_2$

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt M=(1,2). Podstawiamy do równania prostej współrzędne punktu i rozwiązujemy równanie:

$2=6\cdot 1+b_2\\ 2-6=b_2\\ b_2=-4\\ y=6x-4$

3) Szukamy współrzędnych punktu N. Punkt ten jest miejscem przecięcia się wyznaczonych wyżej prostych. Wystarczy więc rozwiązać układ równań:

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktu N. Możemy już obliczyć odległość |MN|

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych:

$z=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: $M=(1,2), N=(\frac{23}{37}, -\frac{10}{37})$ . Korzystamy z powyższego wzoru:

$|MN|=\sqrt{(\frac{23}{37}-1)^2+(-\frac{10}{37}-2)^2}=\sqrt{(\frac{13}{37})^2+(\frac{84}{37})^2}=\sqrt{\frac{169+7036}{37}}=\frac{\sqrt{7225}}{37}=\frac{85}{37}=2\frac{11}{37}$