Zadanie - odległość punktu od figury
Rozwiązanie zadania uproszczone

Szukane:|MN|.
1) Szukamy równania prostej y=a1x+b1, wyznaczonej przez A, B

2) Szukamy równania prostej y=a2x+b2.
3) Szukamy współrzędnych punktu N.


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Odległość punktu od niepustej figury jest to długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu, wewnątrz którego nie znajduje się żaden punkt ten figury. Sporządzamy rysunek.

Otoczenie punktu M, o którym mowa jest zaznaczone na niebiesko (okrąg). Szukamy odległości |MN|. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu B.
Punkt N jest punktem przecięcia się prostej wyznaczonej przez punkty A, B (oznaczmy równanie tej prostej przez y=a1x+b1) i prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez punkt N. Prostą tę oznaczamy następująco: y=a2x+b2. Musimy znaleźć współczynniki a i b obu prostych
1) Szukamy równania prostej y=a1x+b1
Wiemy, że prosta przechodzi przez punkty A=(-1,0) oraz B=5,-1. Podstawiamy do równania prostej współrzędne tych punktów i rozwiązujemy układ równań:

2) Szukamy równania prostej y=a2x+b2. Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

Mamy więc:

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt M=(1,2). Podstawiamy do równania prostej współrzędne punktu i rozwiązujemy równanie:

3) Szukamy współrzędnych punktu N. Punkt ten jest miejscem przecięcia się wyznaczonych wyżej prostych. Wystarczy więc rozwiązać układ równań:

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktu N. Możemy już obliczyć odległość |MN|
Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych:

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: . Korzystamy z powyższego wzoru:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-01-01, ZAD-1065
Zadania podobne

Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5
Pokaż rozwiązanie zadania

Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu (x-3)2+(y-3)2=4
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa

Pokaż rozwiązanie zadania

Dane są punkty

Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz odległość punktu P=(3,2) od prostej 3x+4y-1=0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz odległość punktu P=(-1,1) od prostej y=2x-1.
Pokaż rozwiązanie zadania


A.

B.

C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa
A.

B.

C.

D. 4
Pokaż rozwiązanie zadania

Punkt A=(7,−1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2+y2=10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania