Zadanie - odległość punktu od figury
Treść zadania:
Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).
Rozwiązanie zadania
Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Sporządzamy więc odpowiedni rysunek.
Szukamy długości \(d\). Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu \(B\).
Punkt B jest punktem przecięcia się prostej o równaniu \(y=-2x+2\) i prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez punkt A. Prostą tę oznaczamy następująco: \(y=ax+b\). Musimy znaleźć współczynniki \(a\) i \(b\)
Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:
\(a_1=-\frac{1}{a_2}\)Mamy więc:
\(a=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(y=\frac{1}{2}x+b\)
Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt \(A=(-3,4)\). Podstawiamy do równania prostej współrzędne tego punktu i rozwiązujemy równanie:
\(y=\frac{1}{2}x+b\)
\(4=\frac{1}{2}\cdot (-3)+b\)
\(4=-\frac{3}{2}+b\)
\(b=5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\)
\(y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}\)
Aby znaleźć współrzędne punktu \(B\) musimy rozwiązać układ równań, stosując metodę przeciwnych współczynników:
Otrzymaliśmy więc współrzędne punktu \(B\). Możemy już obliczyć odległość \(d=|AB|\)
Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów \(A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B)\) w układzie współrzędnych:
\(z=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: \(A=(-3,4), B=(-\frac{7}{5}, \frac{24}{5})\). Korzystamy z powyższego wzoru:
\(d=\sqrt{(-\frac{7}{5}+3)^2+(\frac{24}{5}-4)^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{64+16}{25}}=\frac{\sqrt{80}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
Odpowiedź
\(d=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)© medianauka.pl, 2011-01-01, ZAD-1065
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?
Zadanie nr 2.
Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).
Zadanie nr 4.
Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).
Zadanie nr 5.
Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).
Zadanie nr 6.
Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału
A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)
B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)
C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)
D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.