Nauka » Matematyka » Odległość punktów

Zadanie - odległość punktu od prostej

Oblicz odległość punktu $P=(-1,1)$ od prostej $y=2x-1$.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$y=2x-1\\ -2x+y+1=0\\ d=\frac{|-2\cdot (-1)+1\cdot 1+1|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Odległość punktu od prostej wyrażona jest wzorem:

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Trzeba zmienić postać równania prostej z równania kierunkowego na postać występującą w powyższym wzorze:

$y=2x-1\\ -2x+y+1=0$

Mamy wszystkie dane, wystarczy podstawić je do wzoru:

$-2x+y+1=0\\ A=-2, \ B=1,\ C=1\\ P=(-1,1)\\ d=\frac{|-2\cdot (-1)+1\cdot 1+1|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\frac{|2+1+1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{|4|}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$ tło

Odpowiedź

$d=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Zadania podobne

Zadanie - odległość punktów

Jaka jest odległość między różnymi punktami $A, B$, jeżeli $|AC|=4, |BC|=5$?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość początku układu współrzędnych od okręgu

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu $(x-3)^2+(y-3)^2=4$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej

Obliczyć odległość punktu $A=(-3,4)$ od prostej o równaniu $y=-2x+2$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od figury

Obliczyć odległość punktu $M=(1,2)$ od trójkąta wyznaczonego przez punkty $A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej

Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej $y=3x+2$ jest równa $\sqrt{2}$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktów

Dane są punkty $A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)$. Obliczyć odległość $|AB|$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej

Oblicz odległość punktu $P=(3,2)$ od prostej $3x+4y-1=0$.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom podstawowy)

ilustracja do zadania 13 , matura 2016 W okręgu o środku w punkcie $S$ poprowadzono cięciwę $AB$, która utworzyła z promieniem $AS$ kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu $S$ od cięciwy $AB$ jest liczbą z przedziału

A. $\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle$

B. $\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle$

C. $\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle$

D. $\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu $y = 2x + 4$ jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $4$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Punkt $A=(7,−1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie $x^2+y^2=10$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2021 (poziom rozszerzony)

Prosta przechodząca przez punkty $A=(8, −6)$ i $B=(5, 15)$ jest styczna do okręgu o środku w punkcie $O=(0, 0)$. Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Pokaż rozwiązanie zadania