Aksjomaty planimetrii

Planimetria jest działem geometrii (słowo "geometria" pochodzi od słów greckich: ge - ziemia i metreo - mierzę), która zajmuje się własnościami płaszczyzny i jej podzbiorów. Planimetria jest więc geometrią płaszczyzny. Planimetria zbudowana na jednej płaszczyźnie stosuje się do każdej innej płaszczyzny. Planimetria bada własności figur geometrycznych płaskich.

Przestrzeń, punkt, prosta, płaszczyzna

Zbiór wszystkich punktów to przestrzeń. Oznaczamy ją grecką literą omega - Ω.

Punkt, prosta, płaszczyzna są pojęciami podstawowymi, których się nie definiuje, a ich własności wynikają z aksjomatów (pewników, twierdzeń podstawowych, których się nie dowodzi).

Figura płaska jest to dowolny zbiór punktów zawartych w płaszczyźnie.

Aksjomat o przynależności punktów do prostej.

Na każdej prostej leży nieskończenie wiele punktów.
Przez każdy punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych.

Definicja

Pęk prostych jest to rodzina prostych przechodzących przez jeden punkt, nazywanym wierzchołkiem pęku.

Ilustracja obok przedstawia pęk prostych a, b, c, d, e, f, g o wierzchołku A.

Aksjomat o dwóch punktach i prostej.

Przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.

Prostą wyznaczoną przez punkty A i B oznaczamy przez AB

Z powyższych dwóch aksjomatów wynika wzajemne położenie prostych. Możliwe są tutaj trzy przypadki: dwie proste nie mają punktu wspólnego, mają jeden punkt wspólny lub są identyczne (mają nieskończenie wiele punktów wspólnych).

Definicja

Proste a i b są równoległe jeżeli nie mają punktu wspólnego. Używamy wówczas zapisu: a||b.

Proste a i b przecinają się jeżeli mają jeden punkt wspólny. Możemy to zapisać następująco: a∩b={A}
(częścią wspólną prostej a i b jest punkt A).

Proste a i b pokrywają się jeżeli są identyczne, czyli: a=b.
Proste te mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. Możemy też powiedzieć, że prosta jest równoległa sama do siebie.

Aksjomat Euklidesa

Przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do danej prostej.

Animacja
Poniższa animacja jest ilustracją aksjomatu Euklidesa

Definicja

Kierunek prostej jest to rodzina wszystkich prostych równoległych do danej prostej.

Uporządkowanie punktów na prostej

Aksjomat

Uporządkowanie punktów na prostej

Na prostej istnieją dokładnie dwa uporządkowania takie, że dla dowolnych punktów A, B, C należącej do tej prostej zachodzą warunki:

jeżeli A poprzedza B przy jednym uporządkowaniu, to B poprzedza A przy drugim uporządkowaniu,
jeżeli B leży między A i C, to |AB|+|BC|=|AC|,
jeżeli |AB|+|BC|=|AC| i punkty A, B, C są różne, to B leży między A i C.

Definicja

Każde uporządkowanie prostej nazywamy zwrotem prostej.

Prosta ma dwa naturalne uporządkowana: jedno, w którym A poprzedza B i przeciwne do niego, w którym B poprzedza A.

Współliniowość punktów - prawo trójkąta

Definicja

Punkty są współliniowe (kolinearne) jeżeli należą do jednej prostej.

Warunek konieczny i wystarczający niewspółliniowowści

Punkty A, B i C nie są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ||AB|-|BC||<|AC|<|AB|+|BC|.

Warunek konieczny i wystarczający współliniowowści

Punkty A, B i C są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy |AC|=|AB|+|BC| lub |AC|=||AB|-|BC||.

Gdy połączymy oba powyższe twierdzenie otrzymamy:

Prawo trójkąta

Dla dowolnych punktów A, B i C zawsze zachodzi nierówność:

$||AB|-|BC||\leq{}|AC|\leq{}|AB|+|BC|$

Równość zachodzi w przypadku, gdy punkty są współliniowe.

Pytania

Gdzie znajdę wzory z planimetrii?

Aby znaleźć odpowiednie wzory z planimetrii przejdź do naszego działu geometria i wybierz odpowiedni rodzaj figur płaskich (na przykład trójkąty, okrąg itp.)

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Sprawdzić, czy punkty A, B, C są współliniowe (kolinearne), jeżeli
a) |AB|=7, |BC|=5,5 ,|AC|=1,5
b) $|AB|=4+2\sqrt{3}, |BC|=2+\sqrt{3} ,|AC|=3\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Zbadać, czy z odcinków o długości 5,3 i 1 można zbudować trójkąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Punkty A, B, C są współliniowe i |AB|=7, |BC|=6. Jaką liczbą jest |AC|?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dane są odcinki o długościach |AB|=5, |BC|=8. Jaką długość powinien mieć odcinek $\overline{AC}$ , aby można było zbudować trójkąt ABC?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Odległość punktów

Każdym dwóm punktom A i B można przyporządkować liczbę, którą nazywamy odległością punktów. Oznaczamy ją następująco: |AB| lub |BA|.

Półprosta

Zbiór punktów należących do prostej, które leżą po jednej stronie punktu A wraz z tym punktem nazywamy półprostą, a punkt A nazywamy początkiem półprostej.

Odcinek

Odcinek \overline{AB} jest to zbiór punktów leżących na prostej między punktami A i B wraz z punktami A i B. Punkty A i B nazywamy końcami odcinka

Łamana

Tworzymy łańcuch odcinków, łącząc każde dwa kolejne punkty tego ciągu odcinkami. Łamana jest to figura utworzona z tak skonstruowanych odcinków...

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.