Zadanie - odległość punktów

Nauka » Matematyka » Odległość punktów

Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5

Rozwiązanie zadania uproszczone

a) Tak, gdyż |AB|=|AC|+|BC|.
b) Nie, ponieważ |BC|+|AC|>|AB| jest zdaniem fałszywym.
c) Tak ponieważ spełniona jest każda nierówność |AB|+|BC|>|AC|, |BC|+|CA|>|BA|, |CA|+|AB|>|CB|

Rozwiązanie zadania szczegółowe

Posługujemy się aksjomatem o odległości. Wszystkie odległości są nieujemne, więc spełniony jest warunek 1. Oddzielnie dalej będziemy rozpatrywać trzy podpunkty

a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5

Od razu tutaj widać, że |AB|=|AC|+|BC|, bo 10=5+5. Spełniony więc jest warunek 3, a punkty są współliniowe.

b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5

Od razu tutaj widać, że żadna z równości w warunku 3 aksjomatu nie jest spełniona, więc punkty nie mogą być współliniowe (suma dowolnych dwóch odległości nie da trzeciej odległości). Sprawdzamy przypadek, gdy punkty są niewspółliniowe, czyli prawdziwość trzech nierówności: |AB|+|BC|>|AC| i |BC|+|CA|>|BA| i |CA|+|AB|>|CB| (wszystkie muszą być prawdziwe).

|AB|+|BC|>|AC|, 10+5>4 - nierówność prawdziwa
|BC|+|CA|>|BA|, 5+4>10 - nierówność nieprawdziwa, więc jeden z warunków aksjomatu nie jest spełniony - takie punkty nie istnieją

c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5

Od razu tutaj widać, że żadna z równości w warunku 3 aksjomatu nie jest spełniona, więc punkty nie mogą być współliniowe (suma dowolnych dwóch odległości nie da trzeciej odległości). Sprawdzamy przypadek, gdy punkty są niewspółliniowe, czyli prawdziwość trzech nierówności: |AB|+|BC|>|AC| i |BC|+|CA|>|BA| i |CA|+|AB|>|CB| (wszystkie muszą być prawdziwe).

|AB|+|BC|>|AC|, 10+6>5 - nierówność prawdziwa
|BC|+|CA|>|BA|, 5+6>10 - nierówność prawdziwa
|CA|+|AB|>|CB|, 6+10>5 - nierówność prawdziwa

Wszystkie nierówności są prawdziwe, więc punkty takie istnieją i są niewspółliniowe.