Nauka » Matematyka » Odległość punktów

Zadanie - odległość punktów

Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5

Rozwiązanie zadania uproszczone

a) Tak, gdyż |AB|=|AC|+|BC|.
b) Nie, ponieważ |BC|+|AC|>|AB| jest zdaniem fałszywym.
c) Tak ponieważ spełniona jest każda nierówność |AB|+|BC|>|AC|, |BC|+|CA|>|BA|, |CA|+|AB|>|CB|

Rozwiązanie zadania szczegółowe

Posługujemy się aksjomatem o odległości. Wszystkie odległości są nieujemne, więc spełniony jest warunek 1. Oddzielnie dalej będziemy rozpatrywać trzy podpunkty

a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5

Od razu tutaj widać, że |AB|=|AC|+|BC|, bo 10=5+5. Spełniony więc jest warunek 3, a punkty są współliniowe.

b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5

Od razu tutaj widać, że żadna z równości w warunku 3 aksjomatu nie jest spełniona, więc punkty nie mogą być współliniowe (suma dowolnych dwóch odległości nie da trzeciej odległości). Sprawdzamy przypadek, gdy punkty są niewspółliniowe, czyli prawdziwość trzech nierówności: |AB|+|BC|>|AC| i |BC|+|CA|>|BA| i |CA|+|AB|>|CB| (wszystkie muszą być prawdziwe).

|AB|+|BC|>|AC|, 10+5>4 - nierówność prawdziwa
|BC|+|CA|>|BA|, 5+4>10 - nierówność nieprawdziwa, więc jeden z warunków aksjomatu nie jest spełniony - takie punkty nie istnieją

c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5

|AB|+|BC|>|AC|, 10+6>5 - nierówność prawdziwa
|BC|+|CA|>|BA|, 5+6>10 - nierówność prawdziwa
|CA|+|AB|>|CB|, 6+10>5 - nierówność prawdziwa

Wszystkie nierówności są prawdziwe, więc punkty takie istnieją i są niewspółliniowe.

Odpowiedź

a) tak, b) nie, c) tak

Zadania podobne

Zadanie - odległość punktów
Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość początku układu współrzędnych od okręgu
Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej
Obliczyć odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od figury
Obliczyć odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej
Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa $\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktów
Dane są punkty $A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)$ . Obliczyć odległość |AB|.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej
Oblicz odległość punktu P=(3,2) od prostej 3x+4y-1=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej
Oblicz odległość punktu P=(-1,1) od prostej y=2x-1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom podstawowy)
ilustracja do zadania 13 , matura 2016

W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

A.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania