Nauka » Matematyka » Aksjomaty planimetrii • Trójkąt

Zadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)

Treść zadania:

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. \(a=6\)

B. \(a=4\)

C. \(a=3\)

D. \(a=2\)

Rozwiązanie zadania

Mamy trzy odcinki, z których można zbudować trójkąt równoramienny, czyli taki, którego dwa boki mają taką samą długość. Ponieważ \(2a+1\) i \(a-1\) nie mogą mieć tej samej długości, jeden z tych boków musi mieć długość \(5\). Mamy więc dwa przypadki:

Przypadek 1

\(a-1=5\)

\(a=6\)

Mamy więc odcinki o długościach: \(5, 13, 5\) (\(13\) i \(5\), bo \(2a+1=13\) i \(a-1=5\), gdy \(a=6\)).

Pytanie brzmi, czy z odcinków o takich długościach można zbudować trójkąt? Aby sprawdzić, czy odcinki o określonych długościach mogą utworzyć trójkąt wystarczy sprawdzić, czy spełniają prawo trójkąta:

\(||AB|-|BC||<|AC|<|AB|+|BC|\)

Nie ma też znaczenia, którą z odległości przyjmiemy za \(|AC|\). Wystarczy sprawdzić więc dowolny przypadek.

\(|13-5|<5<13+5\)

\(8<5<18\)

Otrzymaliśmy zdanie fałszywe, a więc \(a=6\) nie jest rozwiązaniem naszego zadania.

Przypadek 2

\(2a+1=5\)

\(a=2\)

Mamy więc odcinki o długościach: \(5, 1\) i \(5\).

Czy z odcinków o takich długościach można zbudować trójkąt?

\(|1-5|<5<1+5\)

\(4<5<6\)

Otrzymaliśmy zdanie prawdziwe, a więc \(a=2\) jest rozwiązaniem naszego zadania.

Odpowiedź

Odpowiedź D

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Sprawdzić, czy istnieją takie punkty \(A, B, C\), że

a) \(|AB|=10, |AC|=5, |BC|=5\)

b) \(|AB|=10, |AC|=4, |BC|=5\)

c) \(|AB|=10, |AC|=6, |BC|=5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Sprawdzić, czy punkty \(A, B, C\) są współliniowe (kolinearne), jeżeli:

a) \(|AB|=7, |BC|=5,5 ,|AC|=1,5\)

b) \(|AB|=4+2\sqrt{3}, |BC|=2+\sqrt{3} ,|AC|=3\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Zbadać, czy z odcinków o długości 5,3 i 1 można zbudować trójkąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Punkty \(A, B, C\) są współliniowe i \(|AB|=7, |BC|=6\). Jaką liczbą jest \(|AC|\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dane są odcinki o długościach \(|AB|=5, |BC|=8\). Jaką długość powinien mieć odcinek \(\overline{AC}\), aby można było zbudować trójkąt \(ABC\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.