Nauka » Matematyka » Trójkąt

Zadanie - środek ciężkości trójkąta

Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).

Rozwiązanie zadania uproszczone

$B=(1,2), \ C=(-2,-1)\\ x_{A'}=-\frac{1}{2}, \ y_{A'}=\frac{1}{2}\\ A'=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
$A=(2,1), \ C=(-2,-1)\\ x_{B'}=0, \ y_{B'}=0\\ B'=(0,0)$

$A=(2,1), \ A'=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ \underline{+ \ \begin{cases}1=2a+b\\ 2=-2a+4b \end{cases}} \\ 3=5b/:5\\ b=\frac{3}{5}\\ 1=2a+\frac{3}{5}\\ a=\frac{1}{5}\\ y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}$

$B=(1,2), \ B'=(0,0)\\ \begin{cases} b=0\\ a=2 \end{cases} \\ y=2x$

$\begin{cases} y=2x\\ y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5} \end{cases} \\ 2x=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}/\cdot 5\\ 10x=x+3\\ x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{2}{3}\\ S=(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Środkowe trzech boków trójkąta, czyli odcinki łączące środki boków trójkąta z przeciwległymi wierzchołkami trójkąta, przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta S. Wystarczy , że zaznaczymy dwie środkowe w trójkącie. Sporządzamy więc szkic:

Szukamy długości współrzędnych punktu S. Punkt ten jest częścią wspólną dwóch prostych zawierających środkowe. Wystarczy rozwiązać układ równań tych prostych. Aby znaleźć równania tych prostych musimy znać współrzędne punktów A', B'. Ponieważ są to środki boków trójkąta, możemy skorzystać ze wzoru na środek odcinka AB o punktach A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B):

$x_s=\frac{x_A+x_B}{2}, \ y_s=\frac{y_A+y_B}{2}$

Szukamy współrzędnych punktu A', który jest środkiem odcinka $\overline{BC}$ :

$B=(1,2), \ C=(-2,-1)\\ x_{A'}=\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}\\ y_{A'}=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}\\ A'=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

Szukamy współrzędnych punktu B', który jest środkiem odcinka $\overline{AC}$ :

$A=(2,1), \ C=(-2,-1)\\ x_{B'}=\frac{2+(-2)}{2}=0\\ y_{B'}=\frac{1+(-1)}{2}=0\\ B'=(0,0)'$

Szukamy równania prostej AA'. Korzystamy z równania prostej:

Dane są współrzędne punktów A i A', więc:

$A=(2,1), \ A'=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ y=ax+b\\ \begin{cases}1=a\cdot 2+b\\ \frac{1}{2}=a\cdot (-\frac{1}{2})+b/\cdot 4 \end{cases} \\ \underline{+ \ \begin{cases}1=2a+b\\ 2=-2a+4b \end{cases}} \\ 3=5b/:5\\ b=\frac{3}{5}\\1=2a+b\\ 1=2a+\frac{3}{5}\\ -2a=-\frac{2}{5}/:2\\ a=\frac{1}{5}\\ y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}$ tło

Szukamy teraz równania prostej b, która zawiera środkową BB'.

$B=(1,2), \ B'=(0,0)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}2=a \cdot 1+b\\ 0=a\cdot 0+b \end{cases}\\ \begin{cases} b=0\\ a=2 \end{cases} \\ y=2x$

Rozwiązujemy układ równań obu prostych metodą podstawienia, otrzymując w ten sposób współrzędne punktu S:

$\begin{cases} y=2x\\ y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5} \end{cases} \\ 2x=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}/\cdot 5\\ 10x=x+3\\ 9x=3/:9 \\ x=\frac{1}{3}\\ y=2x \\ y=\frac{2}{3}\\ S=(\frac{1}{3},\frac{2}{3})'$

Odpowiedź

$S=(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$

Zadania podobne

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych
Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wysokość w trójkącie
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąty, obliczanie długości boków
W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30^o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąty, znajdowanie długości boków
W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoramienny
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 32, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania