Strona główna » Matematyka » Trójkąt

Zadanie - środek ciężkości trójkąta

Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).

Rozwiązanie zadania uproszczone

$B=(1,2), \ C=(-2,-1)\\ x_{A'}=-\frac{1}{2}, \ y_{A'}=\frac{1}{2}\\ A'=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
$A=(2,1), \ C=(-2,-1)\\ x_{B'}=0, \ y_{B'}=0\\ B'=(0,0)$

$A=(2,1), \ A'=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ \underline{+ \ \begin{cases}1=2a+b\\ 2=-2a+4b \end{cases}} \\ 3=5b/:5\\ b=\frac{3}{5}\\ 1=2a+\frac{3}{5}\\ a=\frac{1}{5}\\ y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}$

$B=(1,2), \ B'=(0,0)\\ \begin{cases} b=0\\ a=2 \end{cases} \\ y=2x$

$\begin{cases} y=2x\\ y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5} \end{cases} \\ 2x=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}/\cdot 5\\ 10x=x+3\\ x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{2}{3}\\ S=(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Środkowe trzech boków trójkąta, czyli odcinki łączące środki boków trójkąta z przeciwległymi wierzchołkami trójkąta, przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta S. Wystarczy , że zaznaczymy dwie środkowe w trójkącie. Sporządzamy więc szkic:

Szukamy długości współrzędnych punktu S. Punkt ten jest częścią wspólną dwóch prostych zawierających środkowe. Wystarczy rozwiązać układ równań tych prostych. Aby znaleźć równania tych prostych musimy znać współrzędne punktów A', B'. Ponieważ są to środki boków trójkąta, możemy skorzystać ze wzoru na środek odcinka AB o punktach A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B):

$x_s=\frac{x_A+x_B}{2}, \ y_s=\frac{y_A+y_B}{2}$

Szukamy współrzędnych punktu A', który jest środkiem odcinka $\overline{BC}$ :

$B=(1,2), \ C=(-2,-1)\\ x_{A'}=\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}\\ y_{A'}=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}\\ A'=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

Szukamy współrzędnych punktu B', który jest środkiem odcinka $\overline{AC}$ :

$A=(2,1), \ C=(-2,-1)\\ x_{B'}=\frac{2+(-2)}{2}=0\\ y_{B'}=\frac{1+(-1)}{2}=0\\ B'=(0,0)'$

Szukamy równania prostej AA'. Korzystamy z równania prostej:

Dane są współrzędne punktów A i A', więc:

$A=(2,1), \ A'=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ y=ax+b\\ \begin{cases}1=a\cdot 2+b\\ \frac{1}{2}=a\cdot (-\frac{1}{2})+b/\cdot 4 \end{cases} \\ \underline{+ \ \begin{cases}1=2a+b\\ 2=-2a+4b \end{cases}} \\ 3=5b/:5\\ b=\frac{3}{5}\\1=2a+b\\ 1=2a+\frac{3}{5}\\ -2a=-\frac{2}{5}/:2\\ a=\frac{1}{5}\\ y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}$ tło

Szukamy teraz równania prostej b, która zawiera środkową BB'.

$B=(1,2), \ B'=(0,0)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}2=a \cdot 1+b\\ 0=a\cdot 0+b \end{cases}\\ \begin{cases} b=0\\ a=2 \end{cases} \\ y=2x$

Rozwiązujemy układ równań obu prostych metodą podstawienia, otrzymując w ten sposób współrzędne punktu S:

$\begin{cases} y=2x\\ y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5} \end{cases} \\ 2x=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}/\cdot 5\\ 10x=x+3\\ 9x=3/:9 \\ x=\frac{1}{3}\\ y=2x \\ y=\frac{2}{3}\\ S=(\frac{1}{3},\frac{2}{3})'$