Zadanie maturalne nr 3, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym |AD|=|AB|=|BC|=a, |∠BAD|=60° i |∠ADC|=135°. Oblicz pole czworokąta ABCD.
Rozwiązanie zadania
Podstawowa trudność w tym zadaniu to sporządzenie odpowiedniego rysunku.
Zaczniemy od informacji, że |AD|=|AB|=|BC|=a.
Ponieważ kąt |∠BAD|=60° i |AD|=|AB|=a, to mamy do czynienia z trójkątem równobocznym ABD.
Wiemy, że |BC|=a, a ponieważ wykazaliśmy, że |BD|= a, więc trójkąt BDC jest trójkątem równoramiennym. W takim trójkącie kąty przy podstawie są sobie równe. Ponieważ |∠ADC|=135°, to |∠CDB|=135°-60°=75°.
Ponieważ suma kątów w trójkącie jest równa 180°, to:
75°+75°+|∠DBC|=180°
|∠DBC|=90°
A więc figura zaznaczona linią przerywaną na poniższym rysunku jest prostokątem o bokach a i a/2.
Pole czworokątaABCD obliczymy jako sumę pola trójkąta równobocznego ABD i równoramiennego BCD.
\( P_{ABCD}=P_{ABD}+P_{BCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}ah\)
\( P_{ABCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}a\cdot \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}a^2\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-01-10, ZAD-4634
Zadania podobne

Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.
Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?
Pokaż rozwiązanie zadania

Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2
Pokaż rozwiązanie zadania

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c, długość boku BC jest równa a oraz ∠ABC = β . Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E. Wykaż, że długość odcinka BE jest równa

Pokaż rozwiązanie zadania

Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz:
![\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}](matematyka/wzory/zad14/1.gif)
Pokaż rozwiązanie zadania