Nauka » Matematyka » Trójkąt

Zadanie maturalne nr 3, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym |AD|=|AB|=|BC|=a, |∠BAD|=60° i |∠ADC|=135°. Oblicz pole czworokąta ABCD.

Rozwiązanie zadania

Podstawowa trudność w tym zadaniu to sporządzenie odpowiedniego rysunku.

Zaczniemy od informacji, że |AD|=|AB|=|BC|=a.

rysunek 1

Ponieważ kąt |∠BAD|=60° i |AD|=|AB|=a, to mamy do czynienia z trójkątem równobocznym ABD.

rysunek 1

Wiemy, że |BC|=a, a ponieważ wykazaliśmy, że |BD|= a, więc trójkąt BDC jest trójkątem równoramiennym. W takim trójkącie kąty przy podstawie są sobie równe. Ponieważ |∠ADC|=135°, to |∠CDB|=135°-60°=75°.

Ponieważ suma kątów w trójkącie jest równa 180°, to:

75°+75°+|∠DBC|=180°

|∠DBC|=90°

A więc figura zaznaczona linią przerywaną na poniższym rysunku jest prostokątem o bokach a i a/2.

rysunek 1

Pole czworokątaABCD obliczymy jako sumę pola trójkąta równobocznego ABD i równoramiennego BCD.

$ P_{ABCD}=P_{ABD}+P_{BCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}ah$

$ P_{ABCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}a\cdot \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}a^2$

Odpowiedź

$ P_{ABCD}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}a^2$

Zadania podobne

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych
Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - środek ciężkości trójkąta
Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wysokość w trójkącie
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąty, obliczanie długości boków
W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30^o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąty, znajdowanie długości boków
W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoramienny
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 32, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2017 (poziom rozszerzony)
W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c, długość boku BC jest równa a oraz ∠ABC = β . Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E. Wykaż, że długość odcinka BE jest równa

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - działania na pierwiastkach i potęgach
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: $\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.