Nauka » Matematyka » Trójkąt

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych

Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=(-1,0), \ B=(1,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a+b\\ 0=-a+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=b+b/:2\\ a=b \end{cases} \\ \begin{cases} b=-\frac{1}{2}\\ a=-\frac{1}{2} \end{cases}$
$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ C=(1,2)\\ 2=2+b_1\\ b_1=0\\ y=2x$
$\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}/\cdot 4\\ y=2x \end{cases}\\ \underline{+ \ \begin{cases} 4y=-2x-2\\ y=2x \end{cases}}\\ 5y=-2/:5\\ y=-\frac{2}{5}\\ y=2x/:2\\ x=\frac{1}{2}y\\ x=-\frac{1}{5}\\ \begin{cases}x=-\frac{1}{5}\\ y=-\frac{2}{5} \end{cases}$
$C=(1,2), \ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})\\ |CD|=h=\sqrt{(1+\frac{1}{5})^2+(2+\frac{2}{5})^2}=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{180}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Szukamy długości wysokości h. Wysokość leży na prostej b, która jest prostopadła do prostej a zawierającej podstawę AB trójkąta. Znając współrzędne punktu D, który jest punktem wspólnym obu prostych (wystarczy rozwiązać układ równań) obliczymy odległość między punktami C, D, która jest równa długości wysokości.

Szukamy równania prostej a. Korzystamy z równania prostej:

Dane są współrzędne punktów A i B, więc:

$A=(-1,0), \ B=(1,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a\cdot 1+b\\ 0=a\cdot (-1)+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=a+b\\ 0=-a+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=b+b/:2\\ a=b \end{cases} \\ \begin{cases} b=-\frac{1}{2}\\ a=-\frac{1}{2} \end{cases}\\ y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ tło

Szukamy teraz równania prostej b, która zawiera wysokość. Ponieważ proste a i b są prostopadłe do siebie, ich współczynniki kierunkowe są w stosunku do siebie przeciwne i odwrotne:

$a=-\frac{1}{a_1}$

Korzystając z tego, jak również z danych współrzędnych punktu C, otrzymujemy:

$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ C=(1,2)\\ 2=2\cdot 1+b_1\\ 2=2+b_1\\ b_1=0\\ y=2x$

Rozwiązujemy układ równań obu prostych, otrzymując w ten sposób współrzędne punktu D:

$\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}/\cdot 4\\ y=2x \end{cases}\\ \underline{+ \ \begin{cases} 4y=-2x-2\\ y=2x \end{cases}}\\ 5y=-2/:5\\ y=-\frac{2}{5}\\ y=2x/:2\\ x=\frac{1}{2}y\\ x=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{2}{5})\\ x=-\frac{1}{5}\\ \begin{cases}x=-\frac{1}{5}\\ y=-\frac{2}{5} \end{cases}\\ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})$

Odległość między dwoma punktami A=(x_A,y_A) i B=(x_B,y_B) w układzie współrzędnych wyraża się wzorem:

$|AB|=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Korzystamy z powyższego wzoru:

$C=(1,2), \ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})\\ |CD|=h=\sqrt{(1+\frac{1}{5})^2+(2+\frac{2}{5})^2}=\\ =\sqrt{(\frac{5}{5}+\frac{1}{5})^2+(\frac{10}{5}+\frac{2}{5})^2}=\\ =\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\\ =\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{144}{25}}=\\ =\sqrt{\frac{180}{25}}=\sqrt{\frac{36\cdot 5}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Odpowiedź

$h=\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Zadania podobne

Zadanie - środek ciężkości trójkąta
Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wysokość w trójkącie
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąty, obliczanie długości boków
W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30^o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąty, znajdowanie długości boków
W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30^o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoramienny
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 32, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania