Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych


Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Trójkąt
A=(-1,0), \ B=(1,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a+b\\ 0=-a+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=b+b/:2\\ a=b \end{cases} \\ \begin{cases} b=-\frac{1}{2}\\ a=-\frac{1}{2} \end{cases}
y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ C=(1,2)\\ 2=2+b_1\\ b_1=0\\ y=2x
\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}/\cdot 4\\ y=2x \end{cases}\\ \underline{+ \ \begin{cases} 4y=-2x-2\\ y=2x \end{cases}}\\ 5y=-2/:5\\ y=-\frac{2}{5}\\ y=2x/:2\\ x=\frac{1}{2}y\\ x=-\frac{1}{5}\\ \begin{cases}x=-\frac{1}{5}\\ y=-\frac{2}{5} \end{cases}
C=(1,2), \ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})\\ |CD|=h=\sqrt{(1+\frac{1}{5})^2+(2+\frac{2}{5})^2}=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{180}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Trójkat w układzie współrzędnych

Szukamy długości wysokości h. Wysokość leży na prostej b, która jest prostopadła do prostej a zawierającej podstawę AB trójkąta. Znając współrzędne punktu D, który jest punktem wspólnym obu prostych (wystarczy rozwiązać układ równań) obliczymy odległość między punktami C, D, która jest równa długości wysokości.

Szukamy równania prostej a. Korzystamy z równania prostej:

y=ax+b

Dane są współrzędne punktów A i B, więc:

A=(-1,0), \ B=(1,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a\cdot 1+b\\ 0=a\cdot (-1)+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=a+b\\ 0=-a+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=b+b/:2\\ a=b \end{cases} \\ \begin{cases} b=-\frac{1}{2}\\ a=-\frac{1}{2} \end{cases}\\ y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} tło tło tło tło tło tło tło tło

Szukamy teraz równania prostej b, która zawiera wysokość. Ponieważ proste a i b są prostopadłe do siebie, ich współczynniki kierunkowe są w stosunku do siebie przeciwne i odwrotne:

a=-\frac{1}{a_1}

Korzystając z tego, jak również z danych współrzędnych punktu C, otrzymujemy:

y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ C=(1,2)\\ 2=2\cdot 1+b_1\\ 2=2+b_1\\ b_1=0\\ y=2x

Rozwiązujemy układ równań obu prostych, otrzymując w ten sposób współrzędne punktu D:

\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}/\cdot 4\\ y=2x \end{cases}\\ \underline{+ \ \begin{cases} 4y=-2x-2\\ y=2x \end{cases}}\\ 5y=-2/:5\\ y=-\frac{2}{5}\\ y=2x/:2\\ x=\frac{1}{2}y\\ x=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{2}{5})\\ x=-\frac{1}{5}\\ \begin{cases}x=-\frac{1}{5}\\ y=-\frac{2}{5} \end{cases}\\ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})

Odległość między dwoma punktami A=(xA,yA) i B=(xB,yB) w układzie współrzędnych wyraża się wzorem:

|AB|=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}

Korzystamy z powyższego wzoru:

C=(1,2), \ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})\\ |CD|=h=\sqrt{(1+\frac{1}{5})^2+(2+\frac{2}{5})^2}=\\ =\sqrt{(\frac{5}{5}+\frac{1}{5})^2+(\frac{10}{5}+\frac{2}{5})^2}=\\ =\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\\ =\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{144}{25}}=\\ =\sqrt{\frac{180}{25}}=\sqrt{\frac{36\cdot 5}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}

ksiązki Odpowiedź

h=\frac{6\sqrt{5}}{5}

© medianauka.pl, 2011-01-23, ZAD-1123

Zadania podobne

kulkaZadanie - środek ciężkości trójkąta
Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).


kulkaZadanie - wysokość w trójkącie
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.


kulkaZadanie - trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.


kulkaZadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.


kulkaZadanie - trójkąty, obliczanie długości boków
W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.


kulkaZadanie - trójkąty, znajdowanie długości boków
W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.


kulkaZadanie - trójkąt równoramienny
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?


kulkaZadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2


kulkaZadanie maturalne nr 32, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.



Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.