Logo Media Nauka

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych

Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2). Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej z wierzchołka C.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Trójkąt
A=(-1,0), \ B=(1,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a+b\\ 0=-a+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=b+b/:2\\ a=b \end{cases} \\ \begin{cases} b=-\frac{1}{2}\\ a=-\frac{1}{2} \end{cases}
y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ C=(1,2)\\ 2=2+b_1\\ b_1=0\\ y=2x
\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}/\cdot 4\\ y=2x \end{cases}\\ \underline{+ \ \begin{cases} 4y=-2x-2\\ y=2x \end{cases}}\\ 5y=-2/:5\\ y=-\frac{2}{5}\\ y=2x/:2\\ x=\frac{1}{2}y\\ x=-\frac{1}{5}\\ \begin{cases}x=-\frac{1}{5}\\ y=-\frac{2}{5} \end{cases}
C=(1,2), \ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})\\ |CD|=h=\sqrt{(1+\frac{1}{5})^2+(2+\frac{2}{5})^2}=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{180}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic:

Trójkat w układzie współrzędnych

Szukamy długości wysokości h. Wysokość leży na prostej b, która jest prostopadła do prostej a zawierającej podstawę AB trójkąta. Znając współrzędne punktu D, który jest punktem wspólnym obu prostych (wystarczy rozwiązać układ równań) obliczymy odległość między punktami C, D, która jest równa długości wysokości.

Szukamy równania prostej a. Korzystamy z równania prostej:

y=ax+b

Dane są współrzędne punktów A i B, więc:

A=(-1,0), \ B=(1,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a\cdot 1+b\\ 0=a\cdot (-1)+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=a+b\\ 0=-a+b \end{cases} \\ \begin{cases}-1=b+b/:2\\ a=b \end{cases} \\ \begin{cases} b=-\frac{1}{2}\\ a=-\frac{1}{2} \end{cases}\\ y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} tło tło tło tło tło tło tło tło

Szukamy teraz równania prostej b, która zawiera wysokość. Ponieważ proste a i b są prostopadłe do siebie, ich współczynniki kierunkowe są w stosunku do siebie przeciwne i odwrotne:

a=-\frac{1}{a_1}

Korzystając z tego, jak również z danych współrzędnych punktu C, otrzymujemy:

y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ C=(1,2)\\ 2=2\cdot 1+b_1\\ 2=2+b_1\\ b_1=0\\ y=2x

Rozwiązujemy układ równań obu prostych, otrzymując w ten sposób współrzędne punktu D:

\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}/\cdot 4\\ y=2x \end{cases}\\ \underline{+ \ \begin{cases} 4y=-2x-2\\ y=2x \end{cases}}\\ 5y=-2/:5\\ y=-\frac{2}{5}\\ y=2x/:2\\ x=\frac{1}{2}y\\ x=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{2}{5})\\ x=-\frac{1}{5}\\ \begin{cases}x=-\frac{1}{5}\\ y=-\frac{2}{5} \end{cases}\\ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})

Odległość między dwoma punktami A=(xA,yA) i B=(xB,yB) w układzie współrzędnych wyraża się wzorem:

|AB|=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}

Korzystamy z powyższego wzoru:

C=(1,2), \ D=(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5})\\ |CD|=h=\sqrt{(1+\frac{1}{5})^2+(2+\frac{2}{5})^2}=\\ =\sqrt{(\frac{5}{5}+\frac{1}{5})^2+(\frac{10}{5}+\frac{2}{5})^2}=\\ =\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\\ =\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{144}{25}}=\\ =\sqrt{\frac{180}{25}}=\sqrt{\frac{36\cdot 5}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}

ksiązki Odpowiedź

h=\frac{6\sqrt{5}}{5}

© medianauka.pl, 2011-01-23, ZAD-1123



Zadania podobne

kulkaZadanie - środek ciężkości trójkąta
Znaleźć środek ciężkości w trójkącie o wierzchołkach A=(-1,0), B=(1,-1) i C=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wysokość w trójkącie
Oblicz wysokość w trójkącie równoramiennym o ramionach długości 10 i podstawie długości 12.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - trójkąt równoramienny
W trójkącie równoramiennym o ramionach długości 5 wysokość ma długość 4. Oblicz długość podstawy.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - suma miar kątów w tójkącie
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Oblicz miarę pozostałych kątów w tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - trójkąty, obliczanie długości boków
W trójkącie ABC dwa kąty wewnętrzne mają miarę 30o. Długość podstawy jest równa 12. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - trójkąty, znajdowanie długości boków
W trójkącie ABC jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 30o. Wysokość i bok tego trójkąta, leżące naprzeciwko tego kąta mają długość odpowiednio 3 i 4. Znaleźć długości pozostałych boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - trójkąt równoramienny
Czy długość podstawy trójkąta równoramiennego może być dwa razy większa od długości ramienia tego trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 32, matura 2016 (poziom podstawowy)
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50°. Oblicz kąty tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.