Zadanie - Ile różnych prostych wyznaczają cztery punkty na płaszczyźnie
Rozwiązanie zadania uproszczone
W przypadku dowolne trzy punkty nie leżą na jednej prostej - punkty te wyznaczają 6 prostych, gdy dowolne trzy punkty są współliniowe - wówczas punkty te wyznaczają 4 proste, gdy wszystkie punkty są współliniowe - 1 prostą
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Mamy tu do czynienia z kilkoma przypadkami
Przypadek 1
Niech wszystkie punkty będą współliniowe, czyli leżą na jednej prostej (patrz rysunek). W takim przypadku . Ponieważ w treści zadania chodzi o różne proste, więc punkty te wyznaczają tylko jedną taką prostą. Zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta, to skoro dwa pozostałe punkty leżą na tej samej prostej, wszystkie inne proste wyznaczone przez te punkty są identyczne.

Przypadek 2
Niech trzy punkty będą współliniowe, a czwarty punkt nie jest współliniowy z pozostałymi trzema (patrz rysunek). W takim przypadku trzy współliniowe punkty wyznaczają jedną taką prostą i każdy z nich z czwartym punktem wyznacza jedną prostą zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej. Punkty te wyznaczają zatem cztery takie proste.

Przypadek 3
Jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe (dwa punkty zawsze wyznaczają jakąś prostą), to w takim przypadku punkty te wyznaczają 6 różnych prostych. Możemy się posłużyć następującym uzasadnieniem: zgodnie z aksjomatem dwa różne punkty A i B wyznaczają jedną prostą AB. Wypisujemy więc wszystkie możliwości w postaci zbioru różnych prostych: {AB, AC, AD, BC, BD, CD}, pamiętając że AB i BA to proste identyczne. Zbiór posiada 6 elementów.

Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-10-16, ZAD-975
Zadania podobne

Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?
Pokaż rozwiązanie zadania

Sprawdzić, czy punkty A, B, C są współliniowe (kolinearne), jeżeli
a) |AB|=7, |BC|=5,5 ,|AC|=1,5
b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zbadać, czy z odcinków o długości 5,3 i 1 można zbudować trójkąt.
Pokaż rozwiązanie zadania

Punkty A, B, C są współliniowe i |AB|=7, |BC|=6. Jaką liczbą jest |AC|?
Pokaż rozwiązanie zadania

Dane są odcinki o długościach |AB|=5, |BC|=8. Jaką długość powinien mieć odcinek

Pokaż rozwiązanie zadania

Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2
Pokaż rozwiązanie zadania