Zadanie - Ile różnych prostych wyznaczają cztery punkty na płaszczyźnie

Rozwiązanie zadania uproszczone

W przypadku dowolne trzy punkty nie leżą na jednej prostej - punkty te wyznaczają 6 prostych, gdy dowolne trzy punkty są współliniowe - wówczas punkty te wyznaczają 4 proste, gdy wszystkie punkty są współliniowe - 1 prostą

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy tu do czynienia z kilkoma przypadkami

Przypadek 1

Niech wszystkie punkty będą współliniowe, czyli leżą na jednej prostej (patrz rysunek). W takim przypadku . Ponieważ w treści zadania chodzi o różne proste, więc punkty te wyznaczają tylko jedną taką prostą. Zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta, to skoro dwa pozostałe punkty leżą na tej samej prostej, wszystkie inne proste wyznaczone przez te punkty są identyczne.

Przypadek 2

Niech trzy punkty będą współliniowe, a czwarty punkt nie jest współliniowy z pozostałymi trzema (patrz rysunek). W takim przypadku trzy współliniowe punkty wyznaczają jedną taką prostą i każdy z nich z czwartym punktem wyznacza jedną prostą zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej. Punkty te wyznaczają zatem cztery takie proste.

Przypadek 3

Jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe (dwa punkty zawsze wyznaczają jakąś prostą), to w takim przypadku punkty te wyznaczają 6 różnych prostych. Możemy się posłużyć następującym uzasadnieniem: zgodnie z aksjomatem dwa różne punkty A i B wyznaczają jedną prostą AB. Wypisujemy więc wszystkie możliwości w postaci zbioru różnych prostych: {AB, AC, AD, BC, BD, CD}, pamiętając że AB i BA to proste identyczne. Zbiór posiada 6 elementów.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-10-16, ZAD-975

Zadania podobne