Zadanie - Ile różnych prostych wyznaczają cztery punkty na płaszczyźnie

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Mamy tu do czynienia z kilkoma przypadkami

Przypadek 1

Niech wszystkie punkty będą współliniowe, czyli leżą na jednej prostej (patrz rysunek). W takim przypadku . Ponieważ w treści zadania chodzi o różne proste, więc punkty te wyznaczają tylko jedną taką prostą. Zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta, to skoro dwa pozostałe punkty leżą na tej samej prostej, wszystkie inne proste wyznaczone przez te punkty są identyczne.

Przypadek 2

Niech trzy punkty będą współliniowe, a czwarty punkt nie jest współliniowy z pozostałymi trzema (patrz rysunek). W takim przypadku trzy współliniowe punkty wyznaczają jedną taką prostą i każdy z nich z czwartym punktem wyznacza jedną prostą zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej. Punkty te wyznaczają zatem cztery takie proste.

Przypadek 3

Jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe (dwa punkty zawsze wyznaczają jakąś prostą), to w takim przypadku punkty te wyznaczają 6 różnych prostych. Możemy się posłużyć następującym uzasadnieniem: zgodnie z aksjomatem dwa różne punkty A i B wyznaczają jedną prostą AB. Wypisujemy więc wszystkie możliwości w postaci zbioru różnych prostych: {AB, AC, AD, BC, BD, CD}, pamiętając że AB i BA to proste identyczne. Zbiór posiada 6 elementów.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-10-16, ZAD-975

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Sprawdzić, czy istnieją takie punkty \(A, B, C\), że

a) \(|AB|=10, |AC|=5, |BC|=5\)

b) \(|AB|=10, |AC|=4, |BC|=5\)

c) \(|AB|=10, |AC|=6, |BC|=5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Sprawdzić, czy punkty \(A, B, C\) są współliniowe (kolinearne), jeżeli:

a) \(|AB|=7, |BC|=5,5 ,|AC|=1,5\)

b) \(|AB|=4+2\sqrt{3}, |BC|=2+\sqrt{3} ,|AC|=3\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Zbadać, czy z odcinków o długości 5,3 i 1 można zbudować trójkąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Punkty \(A, B, C\) są współliniowe i \(|AB|=7, |BC|=6\). Jaką liczbą jest \(|AC|\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dane są odcinki o długościach \(|AB|=5, |BC|=8\). Jaką długość powinien mieć odcinek \(\overline{AC}\), aby można było zbudować trójkąt \(ABC\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. \(a=6\)

B. \(a=4\)

C. \(a=3\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.