Zadanie - wzajemne położenie prostych
Treść zadania:
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?
Rozwiązanie zadania
Liczbę wyznaczonych prostych przez n punktów, z których każde 3 nie są współliniowe możemy policzyć, korzystając z pojęcia kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego.
Mamy więc zbiór n-elementowy punktów. Wybieramy dwa dowolne punkty, które zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej wyznaczają jedną prostą (wybieramy 2 elementy ze zbioru n-punktów, czyli \(k=2)\). Kolejność wyboru punktów nie ma znaczenia, bo czy wybierzemy punkt A, potem B, czy też najpierw B, a potem A, to i tak tworzymy jedną prostą między nimi. Punkty są różne i nie mogą się powtarzać (musimy wybierać 2 różne punkty), więc tworzymy kombinacje dwuelementowe zbioru n-elementowego. (Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje.) Liczbę kombinacji oraz liczbę przekątnych x obliczamy następująco:
Dla k=2 mamy:
\(=C_{n}^2={n\choose 2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\)
Zauważmy, że zgodnie z definicją silni n!=1∙2∙3∙...∙n. Co stoi w ciągu przed n? Oczywiście liczbą o 1 mniejsza. Można więc napisać: n!=1∙2∙3∙...∙(n-2)(n-1)n=(n-2)!(n-1)n. Wykorzystamy to w naszym wyrażeniu:
\(=\frac{\cancel{(n-2)!}(n-1)n}{2\cancel{(n-2)!}}=\frac{n(n-1)}{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-10-16, ZAD-976


Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie?
Zadanie nr 2.
Sprawdzić, czy istnieją takie punkty \(A, B, C\), że
a) \(|AB|=10, |AC|=5, |BC|=5\)
b) \(|AB|=10, |AC|=4, |BC|=5\)
c) \(|AB|=10, |AC|=6, |BC|=5\)
Zadanie nr 3.
Sprawdzić, czy punkty \(A, B, C\) są współliniowe (kolinearne), jeżeli:
a) \(|AB|=7, |BC|=5,5 ,|AC|=1,5\)
b) \(|AB|=4+2\sqrt{3}, |BC|=2+\sqrt{3} ,|AC|=3\sqrt{3}\)
Zadanie nr 4.
Zbadać, czy z odcinków o długości 5,3 i 1 można zbudować trójkąt.
Zadanie nr 5.
Punkty \(A, B, C\) są współliniowe i \(|AB|=7, |BC|=6\). Jaką liczbą jest \(|AC|\)?
Zadanie nr 6.
Dane są odcinki o długościach \(|AB|=5, |BC|=8\). Jaką długość powinien mieć odcinek \(\overline{AC}\), aby można było zbudować trójkąt \(ABC\)?

Zadanie nr 7 — maturalne.
Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
A. \(a=6\)
B. \(a=4\)
C. \(a=3\)
D. \(a=2\)