Nauka » Matematyka » Kombinacja Aksjomaty planimetrii

Zadanie - wzajemne położenie prostych

Treść zadania:

Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

Rozwiązanie zadania

Liczbę wyznaczonych prostych przez n punktów, z których każde 3 nie są współliniowe możemy policzyć, korzystając z pojęcia kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego.

Mamy więc zbiór n-elementowy punktów. Wybieramy dwa dowolne punkty, które zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej wyznaczają jedną prostą (wybieramy 2 elementy ze zbioru n-punktów, czyli \(k=2)\). Kolejność wyboru punktów nie ma znaczenia, bo czy wybierzemy punkt A, potem B, czy też najpierw B, a potem A, to i tak tworzymy jedną prostą między nimi. Punkty są różne i nie mogą się powtarzać (musimy wybierać 2 różne punkty), więc tworzymy kombinacje dwuelementowe zbioru n-elementowego. (Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje.) Liczbę kombinacji oraz liczbę przekątnych x obliczamy następująco:

\(C_n^k={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Dla k=2 mamy:

\(=C_{n}^2={n\choose 2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\)

Zauważmy, że zgodnie z definicją silni n!=1∙2∙3∙...∙n. Co stoi w ciągu przed n? Oczywiście liczbą o 1 mniejsza. Można więc napisać: n!=1∙2∙3∙...∙(n-2)(n-1)n=(n-2)!(n-1)n. Wykorzystamy to w naszym wyrażeniu:

\(=\frac{\cancel{(n-2)!}(n-1)n}{2\cancel{(n-2)!}}=\frac{n(n-1)}{2}\)