Nauka » Matematyka » Aksjomaty planimetrii Kombinacja

Zadanie - wzajemne położenie prostych

Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x=C_{n}^2={n\choose 2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{\cancel{(n-2)!}(n-1)n}{2\cancel{(n-2)!}}=\frac{n(n-1)}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Liczbę wyznaczonych prostych przez n punktów, z których każde 3 nie są współliniowe możemy policzyć, korzystając z pojęcia kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego.

Mamy więc zbiór n-elementowy punktów. Wybieramy dwa dowolne punkty, które zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej wyznaczają jedną prostą (wybieramy 2 elementy ze zbioru n-punktów, czyli k=2). Kolejność wyboru punktów nie ma znaczenia, bo czy wybierzemy punkt A, potem B, czy też najpierw B, a potem A, to i tak tworzymy jedną prostą między nimi. Punkty są różne i nie mogą się powtarzać (musimy wybierać 2 różne punkty), więc tworzymy kombinacje dwuelementowe zbioru n-elementowego. (Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje.) Liczbę kombinacji oraz liczbę przekątnych x obliczamy następująco:

$C_n^k={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Dla k=2 mamy:

$=C_{n}^2={n\choose 2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=$

Zauważmy, że zgodnie z definicją silni n!=1∙2∙3∙...∙n. Co stoi w ciągu przed n? Oczywiście liczbą o 1 mniejsza. Można więc napisać: n!=1∙2∙3∙...∙(n-2)(n-1)n=(n-2)!(n-1)n. Wykorzystamy to w naszym wyrażeniu:

$=\frac{\cancel{(n-2)!}(n-1)n}{2\cancel{(n-2)!}}=\frac{n(n-1)}{2}$

Odpowiedź

$\frac{n(n-1)}{2}$

Zadania podobne

Zadanie - kombinacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - kombinatoryka - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim - 20 obrazków tułowia, w trzecim - 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z odnóżami. Układamy kartki jedna pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje - równanie
Rozwiązać równanie: $C_{x+2}^{2}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.