Zadanie - wzajemne położenie prostych

Treść zadania:

Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?


ksiązki Rozwiązanie zadania

Liczbę wyznaczonych prostych przez n punktów, z których każde 3 nie są współliniowe możemy policzyć, korzystając z pojęcia kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego.

Mamy więc zbiór n-elementowy punktów. Wybieramy dwa dowolne punkty, które zgodnie z aksjomatem o dwóch punktach i prostej wyznaczają jedną prostą (wybieramy 2 elementy ze zbioru n-punktów, czyli \(k=2)\). Kolejność wyboru punktów nie ma znaczenia, bo czy wybierzemy punkt A, potem B, czy też najpierw B, a potem A, to i tak tworzymy jedną prostą między nimi. Punkty są różne i nie mogą się powtarzać (musimy wybierać 2 różne punkty), więc tworzymy kombinacje dwuelementowe zbioru n-elementowego. (Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje.) Liczbę kombinacji oraz liczbę przekątnych x obliczamy następująco:

\(C_n^k={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Dla k=2 mamy:

\(=C_{n}^2={n\choose 2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\)

Zauważmy, że zgodnie z definicją silni n!=1∙2∙3∙...∙n. Co stoi w ciągu przed n? Oczywiście liczbą o 1 mniejsza. Można więc napisać: n!=1∙2∙3∙...∙(n-2)(n-1)n=(n-2)!(n-1)n. Wykorzystamy to w naszym wyrażeniu:

\(=\frac{\cancel{(n-2)!}(n-1)n}{2\cancel{(n-2)!}}=\frac{n(n-1)}{2}\)

ksiązki Odpowiedź

\(\frac{n(n-1)}{2}\)

© medianauka.pl, 2010-10-16, ZAD-976

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Sprawdzić, czy istnieją takie punkty \(A, B, C\), że

a) \(|AB|=10, |AC|=5, |BC|=5\)

b) \(|AB|=10, |AC|=4, |BC|=5\)

c) \(|AB|=10, |AC|=6, |BC|=5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Sprawdzić, czy punkty \(A, B, C\) są współliniowe (kolinearne), jeżeli:

a) \(|AB|=7, |BC|=5,5 ,|AC|=1,5\)

b) \(|AB|=4+2\sqrt{3}, |BC|=2+\sqrt{3} ,|AC|=3\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Zbadać, czy z odcinków o długości 5,3 i 1 można zbudować trójkąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Punkty \(A, B, C\) są współliniowe i \(|AB|=7, |BC|=6\). Jaką liczbą jest \(|AC|\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dane są odcinki o długościach \(|AB|=5, |BC|=8\). Jaką długość powinien mieć odcinek \(\overline{AC}\), aby można było zbudować trójkąt \(ABC\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Z odcinków o długościach: \(5, 2a+1, a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. \(a=6\)

B. \(a=4\)

C. \(a=3\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2025 r.