Kombinacja

Co to jest kombinacja? Oto definicja.

Kombinacja \(k\)-elementowa zbioru \(n\) elementów jest to każdy \(k\)-elementowy podzbiór zbioru \(n\) elementów.

Przykład

Dany jest zbiór {1, 2, 3, 4}.

  • Oto wszystkie kombinacje jednoelementowe tego zbioru: {1}, {2}, {3}, {4}.
  • Oto wszystkie kombinacje dwuelementowe tego zbioru: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.
  • Oto wszystkie kombinacje trzyelementowe tego zbioru: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}.
  • Oto wszystkie kombinacje czteroelementowe tego zbioru: {1, 2, 3, 4}.

W ten sposób możemy obliczyć, jaka jest liczba podzbiorów zbioru \(n\)-elementowego.

Liczba kombinacji

Liczbę kombinacji \(k\)-elementowych n-elementowego zbioru oznaczamy symbolem \(C^{k}_{n}\) i wyraża się wzorem:

\(C^{k}_{n}={n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Powyższy wzór na liczbę kombinacji wykorzystamy w poniższych przykładach.

Przykłady

W pierwszym przykładzie wypisaliśmy wszystkie kombinacje zbioru czteroelementowego. Możemy teraz zweryfikować liczbę tych kombinacji za pomocą powyższego wzoru.

\(C^{1}_{4}={4 \choose 1}=\frac{4!}{1!3!}=4\)

\(C^{2}_{4}={4 \choose 2}=\frac{4!}{2!2!}=6\)

\(C^{3}_{4}={4 \choose 3}=\frac{4!}{3!1!}=4\)

\(C^{4}_{4}={4 \choose 4}=1\)

Jeśli policzymy liczbę zbiorów w powyższym przykładzie, to otrzymamy te same wartości.

Zauważmy, że nie ma tutaj znaczenia kolejność wybieranych elementów, gdyż tworząc kombinacje, nie tworzymy ciągów, a jedynie podzbiory, czyli {1, 2} i {2, 1} to ta sama kombinacja pewnego zbioru.

Przykład zadania

W klasie jest 30 uczniów. Na ile sposobów można wybrać trzyosobowy samorząd klasowy?

Wybieramy 3 elementy ze zbioru 30 uczniów, przy czym nie ma znaczenia kolejność wybranych osób. Obliczamy więc liczbę kombinacji:

\(C^{3}_{30}={30 \choose 3}=\frac{30!}{3!27!}=\frac{27!\cdot 28\cdot 29\cdot 30}{27!\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=4060\)

Odpowiedź: Z klasy liczącej 30 osób można wybrać trzy osoby na 4060 sposobów.

Lotto

bilaNa kuponie dużego lotka zaznaczamy 6 liczb z 49. Za taki zakład płacimy 2 zł. Ile trzeba wypełnić kuponów, aby być pewnym wygranej i ile to będzie kosztowało?

Wybierając sześć elementów ze zbioru 49 liczb, tworzymy 6-elementowe kombinacje zbioru 49 elementów.

Liczbę zakładów obliczamy ze wzoru:

\(C^{6}_{49}={49 \choose 6}=\frac{49!}{6!43!}=\frac{43!\cdot 44\cdot 45\cdot 46\cdot 47 \cdot 48 \cdot 49}{43!\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}=13983816\)

Za każdy zakład musimy zapłacić 2 zł, więc za 13 983 816 zakładów zapłacimy 27 967 632 zł, czyli prawie 28 mln złotych.

Kalkulator

Kalkulator

Kalkulator — Kombinacje

W tym miejscu możesz obliczyć liczbę kombinacji \(k\)-elementowej zbioru \(n\)-elementowego. Pamiętaj, aby podać liczby naturalne. Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita. Nasz program oblicza kombinacje:

Wpisz dane:
Losujemy \(k\)-elementów:

ze zbioru \(n\)-elementowego:



Rozwiązanie:

Pytania

Ile jest kombinacji w lotto?

Jak wyżej zostało to policzone, jest ich blisko 14 milionów, a dokładnie 13 983 816.

Ile jest kombinacji kostki Rubika?

Liczba kombinacji wszystkich różnych ułożeń popularnej zabawki wynosi ponad 43 tryliony!



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6.

W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(C_{x+2}^{2}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8.

Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-08-22, A-300
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-23



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.