Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Kombinacja

Definicja Definicja

Kombinacja k-elementowa zbioru n elementów jest to każdy k-elementowy podzbiór zbioru n elementów.

Przykład Przykład

Dany jest zbiór {1,2,3,4}.
Oto wszystkie kombinacje jednoelementowe tego zbioru: {1}, {2}, {3}, {4}.
Oto wszystkie kombinacje dwuelementowe tego zbioru: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}.
Oto wszystkie kombinacje trzyelementowe tego zbioru: {1,2,3}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,3,4}.
Oto wszystkie kombinacje czteroelementowe tego zbioru: {1,2,3,4}.

Teoria Liczbę kombinacji k-elementowych n-elementowego zbioru oznaczamy symbolem C^{k}_{n} i wyraża się wzorem:

C^{k}_{n}={n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Przykład Przykład

W powyższym przykładzie wypisaliśmy wszystkie kombinacje zbioru czteroelementowego. Możemy teraz zweryfikować liczbę tych kombinacji za pomocą powyższego zbioru.
C^{1}_{4}={4 \choose 1}=\frac{4!}{1!3!}=4\\C^{2}_{4}={4 \choose 2}=\frac{4!}{2!2!}=6\\C^{3}_{4}={4 \choose 3}=\frac{4!}{3!1!}=4\\C^{4}_{4}={4 \choose 4}=1

Teoria Jeśli policzymy liczbę zbiorów w powyższym przykładzie, to otrzymamy te same wartości.

Zauważmy, że nie ma tutaj znaczenia kolejność wybieranych elementów, gdyż tworząc kombinacje nie tworzymy ciągów, a jedynie podzbiory, czyli {1,2} i {2,1} to ta sama kombinacja pewnego zbioru.

Przykład Przykład

W klasie jest 30 uczniów. Na ile sposobów można wybrać trzyosobowy samorząd klasowy?
Wybieramy 3 elementy ze zbioru 30 uczniów, przy czym nie ma znaczenia kolejność wybranych osób. Obliczamy więc liczbę kombinacji:
C^{3}_{30}={30 \choose 3}=\frac{30!}{3!27!}=\frac{27!\cdot 28\cdot 29\cdot 30}{27!\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=4060

Odpowiedź: Z klasy liczącej 30 osób można wybrać trzy osoby na 4060 sposobów.

ciekawostki Ciekawostki

bilaTOTO-LOTEK
Na kuponie dużego lotka zaznaczamy 6 liczb z 49. Za taki zakład płacimy 2 zł. Ile trzeba wypełnić kuponów, aby być pewnym wygranej i ile to będzie kosztowało?
Wybierając sześć elementów ze zbioru 49 liczb tworzymy 6-elementowe kombinacje zbioru 49 elementów. Liczbę zakładów obliczamy ze wzoru
C^{6}_{49}={49 \choose 6}=\frac{49!}{6!43!}=\frac{43!\cdot 44\cdot 45\cdot 46\cdot 47 \cdot 48 \cdot 49}{43!\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}=13983816
Za każdy zakład musimy zapłacić 2 zł, więc za 13 983 816 zakładów zapłacimy 27 967 632 zł, czyli prawie 28 mln złotych.

e-tablica, oblicz to
Kalkulator - Kombinacje k-elementowe zbioru n-elementowego

W tym miejscu możesz obliczyć liczbę kombinacji k-elementowej zbioru n-elementowego. Pamiętaj aby podać liczby naturalne. Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Wpisz dane:
Losujemy k-elementów:
ze zbioru n-elementowego:


Rozwiązanie:

 Objaśnienia:
  • Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
  • Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 1012
  • Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest wieksza od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

© medianauka.pl, 2009-08-22, ART-300






Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - kombinatoryka - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje, oblicanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim - 20 obrazków tułowia, w trzecim - 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z odnóżami. Układamy kartki jedna pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje - równanie
Rozwiązać równanie: C_{x+2}^{2}=1

zadanie-ikonka Zadanie - wzajemne położenie prostych
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.