Kombinacja

Definicja

Kombinacja k-elementowa zbioru n elementów jest to każdy k-elementowy podzbiór zbioru n elementów.

Przykład

Dany jest zbiór {1,2,3,4}.
Oto wszystkie kombinacje jednoelementowe tego zbioru: {1}, {2}, {3}, {4}.
Oto wszystkie kombinacje dwuelementowe tego zbioru: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}.
Oto wszystkie kombinacje trzyelementowe tego zbioru: {1,2,3}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,3,4}.
Oto wszystkie kombinacje czteroelementowe tego zbioru: {1,2,3,4}.

W ten sposób możemy obliczyć jaka jest liczba podzbiorów zbioru n-elementowego.

Liczba kombinacji

Liczbę kombinacji k-elementowych n-elementowego zbioru oznaczamy symbolem $C^{k}_{n}$ i wyraża się wzorem:

$C^{k}_{n}={n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Powyższy wzór na ilość kombinacji wykorzystamy w poniższych przykładach:

Przykłady

Przykład

W powyższym przykładzie wypisaliśmy wszystkie kombinacje zbioru czteroelementowego. Możemy teraz zweryfikować liczbę tych kombinacji za pomocą powyższego zbioru.
$C^{1}_{4}={4 \choose 1}=\frac{4!}{1!3!}=4\\C^{2}_{4}={4 \choose 2}=\frac{4!}{2!2!}=6\\C^{3}_{4}={4 \choose 3}=\frac{4!}{3!1!}=4\\C^{4}_{4}={4 \choose 4}=1$

Jeśli policzymy liczbę zbiorów w powyższym przykładzie, to otrzymamy te same wartości.

Zauważmy, że nie ma tutaj znaczenia kolejność wybieranych elementów, gdyż tworząc kombinacje nie tworzymy ciągów, a jedynie podzbiory, czyli {1,2} i {2,1} to ta sama kombinacja pewnego zbioru.

Przykład

W klasie jest 30 uczniów. Na ile sposobów można wybrać trzyosobowy samorząd klasowy?
Wybieramy 3 elementy ze zbioru 30 uczniów, przy czym nie ma znaczenia kolejność wybranych osób. Obliczamy więc liczbę kombinacji:
$C^{3}_{30}={30 \choose 3}=\frac{30!}{3!27!}=\frac{27!\cdot 28\cdot 29\cdot 30}{27!\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=4060$

Odpowiedź: Z klasy liczącej 30 osób można wybrać trzy osoby na 4060 sposobów.

Ciekawostki

bila Lotto
Na kuponie dużego lotka zaznaczamy 6 liczb z 49. Za taki zakład płacimy 2 zł. Ile trzeba wypełnić kuponów, aby być pewnym wygranej i ile to będzie kosztowało?
Wybierając sześć elementów ze zbioru 49 liczb tworzymy 6-elementowe kombinacje zbioru 49 elementów. Liczbę zakładów obliczamy ze wzoru
$C^{6}_{49}={49 \choose 6}=\frac{49!}{6!43!}=\frac{43!\cdot 44\cdot 45\cdot 46\cdot 47 \cdot 48 \cdot 49}{43!\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}=13983816$
Za każdy zakład musimy zapłacić 2 zł, więc za 13 983 816 zakładów zapłacimy 27 967 632 zł, czyli prawie 28 mln złotych.

Kalkulator - Kombinacje

W tym miejscu możesz obliczyć liczbę kombinacji k-elementowej zbioru n-elementowego. Pamiętaj aby podać liczby naturalne. Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita. Nasz program oblicza kombinacje:

Wpisz dane:

Losujemy k-elementów:

ze zbioru n-elementowego:

Rozwiązanie:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹²
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.

Pytania

Ile jest kombinacji w lotto?

Jak wyżej zostało to policzone jest ich blisko 14 milionów, a dokładnie 13 983 816.

Ile jest kombinacji kostki Rubika?

Liczba kombinacji wszystkich różnych ułożeń popularnej zabawki wynosi ponad 43 tryliony!

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Kombinacja

Zadanie - kombinacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - kombinatoryka - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim - 20 obrazków tułowia, w trzecim - 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z odnóżami. Układamy kartki jedna pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje - równanie
Rozwiązać równanie: $C_{x+2}^{2}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.