Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Treść zadania:
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?
Rozwiązanie zadania
Dokonujemy trzech losowań. Mamy więc jeden zbiór 10-elementowy obrazków z głowami (\(n=10\)), 20-elementowy z tułowiem (\(n=20\)) i 10-elementowy zbiór obrazków (\(n=10\)) z odnóżami. Wybieramy w pierwszym i trzecim przypadku po jednym elemencie ze zbioru z kartkami (\(k=1\)) oraz w drugim przypadku dwa elementy ze zbioru kartek z obrazkami tułowia (\(k=2\)).
Kolejność wyboru kartek w każdym z trzech losowań nie ma znaczenia, ponieważ losujemy albo tylko jedną kartkę, a gdy losujemy dwie, nie ustalamy ich kolejności. Istotne jest natomiast, że obrazki nie mogą się powtarzać.
Tworzymy więc kombinacje \(k\)-elementowe zbioru \(n\)-elementowego w każdym z trzech przypadków.
(Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje w zależności od różnych warunków zagadnienia.)
Jak połączyć ze sobą te trzy kombinacje? Musimy pomnożyć je przez siebie, aby otrzymać wynik. Dlaczego pomnożyć? Załóżmy, że wybraliśmy pierwszą kartkę. Dobieramy wszystkie pozostałe możliwe kombinacje drugiego zbioru tyle razy, ile jest kombinacji pierwszego zbioru i tak dalej w odniesieniu do drugiego i trzeciego zbioru.
Liczbę możliwych do utworzenia różnych stworków obliczymy następująco:
\(C_{10}^1\cdot C_{20}^2\cdot C_{10}^{1}={10\choose 1}\cdot {20\choose 2}\cdot {10\choose 1}=\)
\(=\frac{10!}{1!(10-1)!}\cdot \frac{20!}{2!(20-2)!}+\frac{10!}{1!(10-1)!}=\)
\(=\frac{\cancel{9!} \cdot 10}{\cancel{9!}}\cdot \frac{\cancel{18!}\cdot 19 \cdot 20}{2\cdot \cancel{18!}}\cdot \frac{\cancel{9!}\cdot 10}{\cancel{9!}}=10\cdot 190\cdot 10=19000\)
Odpowiedź
Można utworzyć 19000 różnych stworków.© medianauka.pl, 2010-01-12, ZAD-509
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?
Zadanie nr 2.
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?
Zadanie nr 3.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?
Zadanie nr 4.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?
Zadanie nr 5.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?
Zadanie nr 7.
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?
Zadanie nr 8 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.