Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.
Rozwiązanie zadania
Mamy dwie sytuacje. Cyfrę jeden inaczej traktujemy niż 2 i 3. Najpierw zajmiemy się jedynką.
Wiemy, że występuje tylko trzy razy w dziesięciocyfrowej liczbie. Można założyć, że dla jedynki losujemy ze zbioru miejsc cyfr w liczbie {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} trzy różne miejsca. Tworzymy więc 3-elementowe zbiory trójek miejsc, których kolejność nie ma znaczenia (bo czy wylosowano trójkę {1,2,3}, czy {3,2,1} to będzie to oznaczało, że jedynki są na 1,2 i 3 miejscu w tej liczbie). Natomiast nie mogą występować powtórzenia miejsc w liczbie (jedynka nie może trzy razy występować na drugim miejscu). Zatem na ile sposobów można rozdzielić miejsca w cyfrze dla jedynki? Na tyle ile jest kombinacji trójelementowych, zbioru 10-cioelementowego.
\(C^{3}_{10}={10n \choose 3}=\frac{10!}{3!7!}=\frac{7!\cdot8\cdot9\cdot10}{2\cdot3\cdot7!}=120\)
Zostały nam trójki i dwójki. Tu podchodzimy nieco inaczej do zagadnienia. Losujemy ze zbioru dwuelementowego {2,3} siedem razy (bo tyle miejsc nam pozostało w liczbie dziesięciocyfrowej i tworzymy ciągi siedmioelementowe, których elementy mogą się powtarzać, a ich kolejność ma znaczenie. Taki schemat opisuje wariację z powtórzeniami. Mamy więc:
\(W_{2}^7=2^7=128\)
Łączymy teraz ze sobą oba losowania. Liczbę takich przypadków uzyskamy, mnożąc jeden wynik przez drugi.
Odpowiedź
Liczb, o których mowa w treści zadania, jest \(120\cdot 128=15360\)© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3286
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?
Zadanie nr 2.
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?
Zadanie nr 3.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?
Zadanie nr 4.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?
Zadanie nr 5.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?
Zadanie nr 6.
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?
Zadanie nr 8.
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?