Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)


Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy dwie sytuacje. Cyfrę jeden inaczej traktujemy niż 2 i 3. Najpierw zajmiemy się jedynką.

Wiemy, że występuje tylko trzy razy w dziesięciocyfrowej liczbie. Można założyć, że dla jedynki losujemy ze zbioru miejsc cyfr w liczbie {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} trzy różne miejsca. Tworzymy więc 3-elementowe zbiory trójek miejsc, których kolejność nie ma znaczenia (bo czy wylosowano trójkę {1,2,3}, czy {3,2,1} to będzie to oznaczało, że jedynki są na 1,2 i 3 miejscu w tej liczbie). Natomiast nie mogą występować powtórzenia miejsc w liczbie (jedynka nie może trzy razy wystepowac na drugim miejscu). Zatem na ile sposobów można rozdzielić miejsca w cyfrze dla jedynki? Na tyle ile jest kombinacji trójelementowych, zbioru 10-cioelementowego.

C^{3}_{10}={10n \choose 3}=\frac{10!}{3!7!}=\frac{7!\cdot8\cdot9\cdot10}{2\cdot3\cdot7!}=120


Zostały nam trójki i dwójki. Tu podchodzimy nieco inaczej do zagadnienia. Losujemy ze zbioru dwuelementowego {2,3} siedem razy (bo tyle miejsc nam pozostało w liczbie dziesięciocyfrowej i tworzymy ciągi siedmioelementowe, których elementy mogą się powtarzać, a ich kolejność ma znaczenie. Taki schemat opisuje wariację z powtórzeniami. Mamy więc

W_{2}^7=2^7=128

Łączymy teraz ze sobą oba losowania. Liczbę takich przypadków uzyskamy mnożąc jeden wynik przez drugi.

ksiązki Odpowiedź

Liczb, o których mowa w treści zadania jest 120·128=15360


© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3286

Zadania podobne

kulkaZadanie - permutacje, obliczanie permutacji
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5?


kulkaZadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?


kulkaZadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Z ilu elementów składa się zbiór A, jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?


kulkaZadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?


kulkaZadanie - kombinacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?


kulkaZadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?


kulkaZadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?


kulkaZadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?


kulkaZadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - kombinatoryka - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?


kulkaZadanie - kombinacje, oblicanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim - 20 obrazków tułowia, w trzecim - 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z odnóżami. Układamy kartki jedna pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?


kulkaZadanie - kombinacje - równanie
Rozwiązać równanie: C_{x+2}^{2}=1


kulkaZadanie - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?


kulkaZadanie - wariacje bez powtórzeń - zadanie z treścią
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?


kulkaZadanie - wariacje bez powtórzeń
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?


kulkaZadanie - wariacje - zadanie z treścią - informatyka
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?


kulkaZadanie maturalne nr 24, matura 2014
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?

A. 100
B. 90
C. 45
D. 20



Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.