Nauka » Matematyka » Kombinacja Kombinatoryka

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka

Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x=C_{n}^2-n={n\choose 2}-n=\frac{n!}{2!(n-2)!}-n=\frac{\cancel{(n-2)!}(n-1)n}{2\cancel{(n-2)!}}-n=\\ =\frac{n^2-n}{2}-\frac{2n}{2}=\frac{n^2-3n}{2}=\frac{n(n-3)}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Liczbę przekątnych możemy policzyć, korzystając z pojęcia kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego. Dlaczego?

Każdy wielokąt foremny składa się z n wierzchołków. Jeżeli wybierzemy ze zbioru wierzchołków każde dwa wierzchołki i połączymy je ze sobą, to otrzymamy wszystkie przekątne w tej figurze oraz boki. Ponieważ interesują nas jedynie przekątne, trzeba będzie od wyniku odjąć liczbę boków w takim n-kącie foremnym, czyli liczbę n.

Mamy więc zbiór n-elementowy. Wybieramy dwa dowolne punkty i budujemy między nimi odcinek (wybieramy 2 elementy ze zbioru wierzchołków, czyli k=2). Kolejność wyboru wierzchołków nie ma znaczenia, bo czy wybierzemy wierzchołek A, potem B, czy też najpierw B, a potem A, to i tak tworzymy jeden odcinek między nimi. Wierzchołki nie mogą się powtarzać (musimy wybierać 2 różne wierzchołki), więc tworzymy kombinacje dwuelementowe zbioru n-elementowego. Aby lepiej zrozumieć nasz tok myślenia, spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje w zależności od warunków zadania.

Liczbę kombinacji oraz liczbę przekątnych x obliczamy następująco:

$C_n^k={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\ x=C_{n}^2-n={n\choose 2}-n=\frac{n!}{2!(n-2)!}-n$

Zauważmy, że zgodnie z definicją silni n!=1∙2∙3∙...∙n. Co stoi w ciągu przed n? Oczywiście liczbą o 1 mniejsza. Można więc napisać: n!=1∙2∙3∙...∙(n-2)(n-1)n=(n-2)!(n-1)n. Wykorzystamy to w naszym wyrażeniu:

$x=\frac{\cancel{(n-2)!}(n-1)n}{2\cancel{(n-2)!}}-n=\\ =\frac{n^2-n}{2}-\frac{2n}{2}=\frac{n^2-3n}{2}=\frac{n(n-3)}{2}$

Odpowiedź

Liczba przekątnych w n-kącie foremnym jest równa $\frac{n(n-3)}{2}$

Zadania podobne

Zadanie - permutacje, obliczanie permutacji
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Z ilu elementów składa się zbiór A, jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - kombinatoryka - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje, oblicanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim - 20 obrazków tułowia, w trzecim - 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z odnóżami. Układamy kartki jedna pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinacje - równanie
Rozwiązać równanie: $C_{x+2}^{2}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wariacje bez powtórzeń - zadanie z treścią
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wariacje bez powtórzeń
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wariacje - zadanie z treścią - informatyka
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 24, matura 2014
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?

A. 100
B. 90
C. 45
D. 20

Pokaż rozwiązanie zadania