Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Treść zadania:
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?
Rozwiązanie zadania
Liczbę przekątnych możemy policzyć, korzystając z pojęcia kombinacji \(k\)-elementowych zbioru \(n\)-elementowego. Dlaczego?
Każdy wielokąt foremny składa się z \(n\) wierzchołków. Jeżeli wybierzemy ze zbioru wierzchołków każde dwa wierzchołki i połączymy je ze sobą, to otrzymamy wszystkie przekątne w tej figurze oraz boki. Ponieważ interesują nas jedynie przekątne, trzeba będzie od wyniku odjąć liczbę boków w takim \(n\)-kącie foremnym, czyli liczbę \(n\).
Mamy więc zbiór n-elementowy. Wybieramy dwa dowolne punkty i budujemy między nimi odcinek (wybieramy 2 elementy ze zbioru wierzchołków, czyli \(k=2\)). Kolejność wyboru wierzchołków nie ma znaczenia, bo czy wybierzemy wierzchołek A, potem B, czy też najpierw B, a potem A, to i tak tworzymy jeden odcinek między nimi. Wierzchołki nie mogą się powtarzać (musimy wybierać 2 różne wierzchołki), więc tworzymy kombinacje dwuelementowe zbioru n-elementowego. Aby lepiej zrozumieć nasz tok myślenia, spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje w zależności od warunków zadania.
Liczbę kombinacji oraz liczbę przekątnych x obliczamy następująco:
\(C_n^k={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
\(x=C_{n}^2-n={n\choose 2}-n=\frac{n!}{2!(n-2)!}-n\)
Zauważmy, że zgodnie z definicją silni \(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n\). Co stoi w ciągu przed \(n\)? Oczywiście liczbą o 1 mniejsza. Można więc napisać: \(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-2)(n-1)n=(n-2)!(n-1)n\). Wykorzystamy to w naszym wyrażeniu:
\(x=\frac{\cancel{(n-2)!}(n-1)n}{2\cancel{(n-2)!}}-n=\frac{n^2-n}{2}-\frac{2n}{2}=\frac{n^2-3n}{2}=\frac{n(n-3)}{2}\)
Odpowiedź
Liczba przekątnych w \(n\)-kącie foremnym jest równa \(\frac{n(n-3)}{2}\).© medianauka.pl, 2010-01-11, ZAD-505
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?
Zadanie nr 2.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?
Zadanie nr 3.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?
Zadanie nr 4.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?
Zadanie nr 5.
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?
Zadanie nr 7.
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?
Zadanie nr 8 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.