Strona główna » Matematyka » Kombinacja • Kombinatoryka

Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?

Rozwiązanie zadania uproszczone

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Liczbę przekątnych możemy policzyć, korzystając z pojęcia kombinacji k-elementowych zbioru n-elementowego. Dlaczego?

Każdy wielokąt foremny składa się z n wierzchołków. Jeżeli wybierzemy ze zbioru wierzchołków każde dwa wierzchołki i połączymy je ze sobą, to otrzymamy wszystkie przekątne w tej figurze oraz boki. Ponieważ interesują nas jedynie przekątne, trzeba będzie od wyniku odjąć liczbę boków w takim n-kącie foremnym, czyli liczbę n.

Mamy więc zbiór n-elementowy. Wybieramy dwa dowolne punkty i budujemy między nimi odcinek (wybieramy 2 elementy ze zbioru wierzchołków, czyli k=2). Kolejność wyboru wierzchołków nie ma znaczenia, bo czy wybierzemy wierzchołek A, potem B, czy też najpierw B, a potem A, to i tak tworzymy jeden odcinek między nimi. Wierzchołki nie mogą się powtarzać (musimy wybierać 2 różne wierzchołki), więc tworzymy kombinacje dwuelementowe zbioru n-elementowego. Aby lepiej zrozumieć nasz tok myślenia, spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje w zależności od warunków zadania.

Liczbę kombinacji oraz liczbę przekątnych x obliczamy następująco:

Zauważmy, że zgodnie z definicją silni n!=1∙2∙3∙...∙n. Co stoi w ciągu przed n? Oczywiście liczbą o 1 mniejsza. Można więc napisać: n!=1∙2∙3∙...∙(n-2)(n-1)n=(n-2)!(n-1)n. Wykorzystamy to w naszym wyrażeniu:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-11, ZAD-505

Polecamy