Zadanie - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią

Treść zadania:

a) Ile można utworzyć liczb z cyfr \(1, 2, 3, 4\), używając każdej z cyfr tylko raz?

b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(1, 2, 3, 4\)?

c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(0, 1, 2, 3\)?


Rozwiązanie zadania

Rozwiązanie podpunktu a)

Ile można utworzyć liczb z cyfr \(1, 2, 3, 4\), używając każdej z cyfr tylko raz?

Ze zbioru czterech cyfr (\(n=4\)) tworzymy ciągi liczb stanowiące liczby jednocyfrowe (\(k=1\)), dwucyfrowe (\(k=2\)), trzycyfrowe (\(k=3\)) oraz czterocyfrowe (\(k=1\)). Cyfry nie mogą się powtarzać, a kolejność cyfr w danej liczbie ma znaczenie.

Zatem tworząc liczby, tworzymy wariacje jedno-, dwu-, trzy- oraz czteroelementowe bez powtórzeń zbioru pięcioelementowego.
(Zobacz tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje z opisem cech warunków zadania z kombinatoryki.)

Liczbę wariacji obliczamy ze wzoru:

\(V_{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!}\)

Obliczamy więc cztery razy liczbę wariacji zgodnie z powyższym wzorem i sumujemy poszczególne wyniki losowań. Wykonujemy proste obliczenia.

\(V_{4}^1+V_{4}^2+V_{4}^{3}+V_{4}^{4}=\)

\( =\frac{4!}{(4-1)!}+\frac{4!}{(4-2)!}+\frac{4!}{(4-3)!}+\frac{4!}{(4-4)!}=\)

\(=\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{2!}+\frac{4!}{1!}+\frac{4!}{0!}=\)

\(=\frac{3!\cdot 4}{3!}+\frac{2!\cdot 3 \cdot 4}{2!}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{1}=\)

\(=4+12+24+24=64\)

Rozwiązanie podpunktu b)

Ze zbioru 4 cyfr (\(n=4) wybieramy \(4,3,2,1\) cyfry (\(k=4, k=3, k=2, k=1\)) aby utworzyć liczby czterocyfrowe, trzycyfrowe, dwucyfrowe i jednocyfrowe.

W każdym z przypadków (poza liczbami jednocyfrowymi) wybieramy dowolne cyfry, które mogą się powtarzać (np. \(1111\), \(1212\) itp.). Kolejność wyboru cyfr ma znaczenie, gdyż rozróżniają utworzone liczby (np. \(12\) i \(21\) oznaczają dwie różne liczby). W każdym z czterech przypadków tworzymy wariacji k-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego. (Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje.)

Liczbę wariacji z powtórzeniami obliczamy ze wzoru:


Obliczamy więc czterokrotnie liczbę wariacji zgodnie z powyższym wzorem, a wynik otrzymamy sumując je.

\(W_{4}^4+W_{4}^3+W_4^2+W_4^1= 4^4+4^3+4^2+4^1=\)

\(=256+64+16+4=340\)

Rozwiązanie podpunktu c)

Ze zbioru 4 cyfr (n=4) wybieramy 4 cyfry (k=4) aby utworzyć liczby czterocyfrowe. Wybieramy dowolne cyfry, które mogą się powtarzać (np. 1111, 1212 itp.). Kolejność wyboru cyfr ma znaczenie, gdyż rozróżnia utworzone liczby (np. 1211 i 2111 oznaczają dwie różne liczby). Tworzymy wariacje 4-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego.

Musimy jeszcze wyeliminować przypadki, w którym cyfra 0 stoi na pierwszym miejscu (i kolejnych), gdyż wówczas nie otrzymujemy liczby czterocyfrowej. Ustawmy 0 na pierwszym miejscu i dobierzemy dowolne trzy cyfry na kolejnych miejscach. Zdarzy się też tutaj, że będą to liczby z dwoma, trzema cyframi na pierwszym miejscu, a także gdy będą to 4 zera, czyli liczba zero. Ile jest takich przypadków, gdy 0 stoi na pierwszym miejscu? Ponieważ kolejność cyfr ma znaczenie, cyfry mogą się powtarzać i wybieramy z czterech cyfr (n=4) trzy cyfry (k=3), tworzymy wariacje 3-elementowe z powtórzeniami zbioru 4-elementowego. Wszystkie te wariacje trzeba odjąć od wariacji 4-elementowych z powtórzeniami zbioru czteroelementowego aby otrzymać żądany wynik.

Liczbę wariacji z powtórzeniami obliczamy ze wzoru:

\(W_{n}^k=n^k\)

Zgodnie z powyższym wzorem oraz warunkami zadania mamy:

\(W_{4}^4-W_{4}^3=4^4-4^3=256-64=192\)

Odpowiedź

a) Z cyfr \(1,2,3,4\) można utworzyć \(64\) różne liczby.
b) Z cyfr \(1,2,3,4\) można utworzyć \(340\) różnych liczb czterocyfrowych.
c) Z cyfr \(0,1,2,3\) można utworzyć \(192\) różne liczby czterocyfrowe.

© medianauka.pl, 2010-01-13, ZAD-511


AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2025 r.