Wariacje bez powtórzeń

Definicja Definicja

Wariacja k-elementowa bez powtórzeń n-elementowego zbioru jest to każdy k-elementowy ciąg, którego wszystkie wyrazy są różne i należą do n-elementowego zbioru (k≤n).

Przykład Przykład

Dany jest zbiór {1,2,3}.
Oto wszystkie wariacje jednoelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1), (2), (3).
Oto wszystkie wariacje dwuelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2).
Oto wszystkie wariacje trzyelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).

Liczba wariacji bez powtórzeń

Teoria Liczbę wszystkich wariacji k-elementowych bez powtórzeń n-elementowego zbioru oznaczamy przez V^{k}_{n} i obliczamy ze wzoru:

V^{k}_{n}=\frac{n!}{(n-k)!}

Wariacje z powtórzeniami są podobne do kombinacji z tą różnicą, że w wariacjach bez powtórzeń istotna jest kolejność wyrazów. Wariacje bez powtórzeń możemy otrzymać z kombinacji poprzez ustawienie elementów kombinacji w ciągi.

Powyższy wzór na liczbę wariacji bez powtórzeń wykorzystamy w przykładowych zadaniach.

Przykłady

Przykład Przykład

Dla zbioru z powyższego przykładu {1,2,3} policzmy ile można z jego elementów utworzyć wariacji k-elementowych bez powtórzeń.

V^{k}_{n}

Przykład Przykład

Na ile sposobów można z 30-osobowej klasy wybrać przewodniczącego, jego zastępcę oraz skarbnika?

Ten przykład jest podobny do zadania przy omawianiu pojęcia kombinacji. Tam jednak wybieraliśmy trzyosobową delegację i nie miało znaczenia, kto ma mieć jaką funkcję. Tutaj wybranym trzem osobom przydzielamy funkcje, czyli ustawiamy je w ciąg. Kolejność wyboru ma znaczenie, zamiast kombinacji stosujemy wariacje bez powtórzeń (zakładamy przy tym, że przewodniczący nie może być jednocześnie swoim zastępcą i skarbnikiem)
Liczbę wariacji trzyelementowych bez powtórzeń z 30-elementowego zbioru uczniów w klasie obliczamy z poznanego powyżej wzoru.

V^{3}_{30}=\frac{30!}{(30-3)!}=\frac{27!\cdot{28}\cdot{29}\cdot{30}}{27!}=24360

Odpowiedź: wyboru przewodniczącego, jego zastępcy oraz skarbnika z trzydziestoosobowej klasy można wybrać na 24360 sposobów.

Teoria Oprócz wariacji bez powtórzeń definiujemy wariacje z powtórzeniami.



© medianauka.pl, 2009-08-23, ART-301


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Wariacja bez powtórzeń

zadanie-ikonka Zadanie - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wariacje bez powtórzeń - zadanie z treścią
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wariacje bez powtórzeń
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

PermutacjaPermutacja
Permutacja zbioru n-elementowego jest to każdy ciąg n-wyrazowy utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.
KombinacjaKombinacja
Co to sa kobinacje k-elementowe n-elementowego zbioru? Jak obliczyć liczbę kombinacji? Wzory, definicje i przykłady.
Wariacja z powtórzeniamiWariacja z powtórzeniami
Co to jest wariacja k-elementowa z powtórzeniami n-elementowego zbioru?
KombinatorykaKombinatoryka
Kombinatoryka. Pojęcia permutacji, kombinacji, wariacji są mylone ze sobą. W tabeli zestawione zostały podobieństwa i różnice między nimi.



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.