Wariacje bez powtórzeń
Definicja
Wariacja k-elementowa bez powtórzeń n-elementowego zbioru jest to każdy k-elementowy ciąg, którego wszystkie wyrazy są różne i należą do n-elementowego zbioru (k≤n).
Przykład
Dany jest zbiór {1,2,3}.
Oto wszystkie wariacje jednoelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1), (2), (3).
Oto wszystkie wariacje dwuelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2).
Oto wszystkie wariacje trzyelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).
Liczba wariacji bez powtórzeń
Liczbę wszystkich wariacji k-elementowych bez powtórzeń n-elementowego zbioru oznaczamy przez
i obliczamy ze wzoru:

Wariacje z powtórzeniami są podobne do kombinacji z tą różnicą, że w wariacjach bez powtórzeń istotna jest kolejność wyrazów. Wariacje bez powtórzeń możemy otrzymać z kombinacji poprzez ustawienie elementów kombinacji w ciągi.
Powyższy wzór na liczbę wariacji bez powtórzeń wykorzystamy w przykładowych zadaniach.
Przykłady
Przykład
Dla zbioru z powyższego przykładu {1,2,3} policzmy ile można z jego elementów utworzyć wariacji k-elementowych bez powtórzeń.
Przykład
Na ile sposobów można z 30-osobowej klasy wybrać przewodniczącego, jego zastępcę oraz skarbnika?
Ten przykład jest podobny do zadania przy omawianiu pojęcia kombinacji. Tam jednak wybieraliśmy trzyosobową delegację i nie miało znaczenia, kto ma mieć jaką funkcję. Tutaj wybranym trzem osobom przydzielamy funkcje, czyli ustawiamy je w ciąg. Kolejność wyboru ma znaczenie, zamiast kombinacji stosujemy wariacje bez powtórzeń (zakładamy przy tym, że przewodniczący nie może być jednocześnie swoim zastępcą i skarbnikiem)
Liczbę wariacji trzyelementowych bez powtórzeń z 30-elementowego zbioru uczniów w klasie obliczamy z poznanego powyżej wzoru.
Odpowiedź: wyboru przewodniczącego, jego zastępcy oraz skarbnika z trzydziestoosobowej klasy można wybrać na 24360 sposobów.
Oprócz wariacji bez powtórzeń definiujemy wariacje z powtórzeniami.
© medianauka.pl, 2009-08-23, ART-301
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wariacja bez powtórzeń
Zadanie - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?
Zadanie - wariacje bez powtórzeń - zadanie z treścią
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?
Zadanie - wariacje bez powtórzeń
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?
Inne zagadnienia z tej lekcji

Permutacja zbioru n-elementowego jest to każdy ciąg n-wyrazowy utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.

Co to sa kobinacje k-elementowe n-elementowego zbioru? Jak obliczyć liczbę kombinacji? Wzory, definicje i przykłady.

Co to jest wariacja k-elementowa z powtórzeniami n-elementowego zbioru?

Kombinatoryka. Pojęcia permutacji, kombinacji, wariacji są mylone ze sobą. W tabeli zestawione zostały podobieństwa i różnice między nimi.

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.