Wariacje bez powtórzeń

Definicja

Wariacja k-elementowa bez powtórzeń n-elementowego zbioru jest to każdy k-elementowy ciąg, którego wszystkie wyrazy są różne i należą do n-elementowego zbioru (k≤n).

Przykład

Dany jest zbiór {1,2,3}.
Oto wszystkie wariacje jednoelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1), (2), (3).
Oto wszystkie wariacje dwuelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2).
Oto wszystkie wariacje trzyelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).

Liczbę wszystkich wariacji k-elementowych bez powtórzeń n-elementowego zbioru oznaczamy przez $V^{k}_{n}$ i obliczamy ze wzoru:

$V^{k}_{n}=\frac{n!}{(n-k)!}$

Wariacje z powtórzeniami są podobne do kombinacji z tą różnicą, że w wariacjach bez powtórzeń istotna jest kolejność wyrazów. Wariacje bez powtórzeń możemy otrzymać z kombinacji poprzez ustawienie elementów kombinacji w ciągi.

Przykład

Dla zbioru z powyższego przykładu {1,2,3} policzmy ile można z jego elementów utworzyć wariacji k-elementowych bez powtórzeń.

$V^{k}_{n}$

Przykład

Na ile sposobów można z 30-osobowej klasy wybrać przewodniczącego, jego zastępcę oraz skarbnika?

Ten przykład jest podobny do zadania przy omawianiu pojęcia kombinacji. Tam jednak wybieraliśmy trzyosobową delegację i nie miało znaczenia, kto ma mieć jaką funkcję. Tutaj wybranym trzem osobom przydzielamy funkcje, czyli ustawiamy je w ciąg. Kolejność wyboru ma znaczenie, zamiast kombinacji stosujemy wariacje bez powtórzeń (zakładamy przy tym, że przewodniczący nie może być jednocześnie swoim zastępcą i skarbnikiem)
Liczbę wariacji trzyelementowych bez powtórzeń z 30-elementowego zbioru uczniów w klasie obliczamy z poznanego powyżej wzoru.

$V^{3}_{30}=\frac{30!}{(30-3)!}=\frac{27!\cdot{28}\cdot{29}\cdot{30}}{27!}=24360$