Wariacje bez powtórzeń

Definicja

Wariacja k-elementowa bez powtórzeń n-elementowego zbioru jest to każdy k-elementowy ciąg, którego wszystkie wyrazy są różne i należą do n-elementowego zbioru (k≤n).

Przykład

Dany jest zbiór {1,2,3}.
Oto wszystkie wariacje jednoelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1), (2), (3).
Oto wszystkie wariacje dwuelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2).
Oto wszystkie wariacje trzyelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).

Liczba wariacji bez powtórzeń

Liczbę wszystkich wariacji k-elementowych bez powtórzeń n-elementowego zbioru oznaczamy przez $V^{k}_{n}$ i obliczamy ze wzoru:

$V^{k}_{n}=\frac{n!}{(n-k)!}$

Wariacje z powtórzeniami są podobne do kombinacji z tą różnicą, że w wariacjach bez powtórzeń istotna jest kolejność wyrazów. Wariacje bez powtórzeń możemy otrzymać z kombinacji poprzez ustawienie elementów kombinacji w ciągi.

Powyższy wzór na liczbę wariacji bez powtórzeń wykorzystamy w przykładowych zadaniach.

Przykłady

Przykład

Dla zbioru z powyższego przykładu {1,2,3} policzmy ile można z jego elementów utworzyć wariacji k-elementowych bez powtórzeń.

$V^{k}_{n}$

Przykład

Na ile sposobów można z 30-osobowej klasy wybrać przewodniczącego, jego zastępcę oraz skarbnika?

Ten przykład jest podobny do zadania przy omawianiu pojęcia kombinacji. Tam jednak wybieraliśmy trzyosobową delegację i nie miało znaczenia, kto ma mieć jaką funkcję. Tutaj wybranym trzem osobom przydzielamy funkcje, czyli ustawiamy je w ciąg. Kolejność wyboru ma znaczenie, zamiast kombinacji stosujemy wariacje bez powtórzeń (zakładamy przy tym, że przewodniczący nie może być jednocześnie swoim zastępcą i skarbnikiem)
Liczbę wariacji trzyelementowych bez powtórzeń z 30-elementowego zbioru uczniów w klasie obliczamy z poznanego powyżej wzoru.

$V^{3}_{30}=\frac{30!}{(30-3)!}=\frac{27!\cdot{28}\cdot{29}\cdot{30}}{27!}=24360$

Odpowiedź: wyboru przewodniczącego, jego zastępcy oraz skarbnika z trzydziestoosobowej klasy można wybrać na 24360 sposobów.

Oprócz wariacji bez powtórzeń definiujemy wariacje z powtórzeniami.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wariacja bez powtórzeń

Zadanie - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wariacje bez powtórzeń - zadanie z treścią
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wariacje bez powtórzeń
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?

Pokaż rozwiązanie zadania