Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Kombinatoryka

Kombinatoryka stanowi dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczby zbiorów, jakie można utworzyć w zadany sposób z elementów danego skończonego zbioru.

Teoria Dość często pojęcia permutacji, kombinacji, wariacji bez powtórzeń i wariacji z powtórzeniami są mylone ze sobą. W poniższej tabeli zestawione zostały podobieństwa i różnice między nimi. Tabela zawiera informacje, które ułatwią podjęcie decyzji, kiedy jaki wzór zastosować. Ponadto tablice te zawierają wszystkie podstawowe wzory z kombinatoryki.

Kombinatoryka - wzory

Niech:
p - oznacza permutację, kombinację lub wariację,
n - liczba elementów pewnego zbioru,
k - liczba elementów ciągu lub podzbioru dla tworzonych p.

nazwa pLiczba pRodzajCzy kolejność wyrazów ma znaczenie?Czy mogą występować powtórzenia tego samego elementu zbioru?
permutacjeP_n=n!tworzymy ciągi n-elementowetaknie
kombinacjeC^{k}_{n}={n \choose k}=\\=\frac{n!}{k!(n-k)!}tworzymy podzbiory k-elementowenienie
wariacje bez powtórzeńV^{k}_{n}=\frac{n!}{(n-k)!}tworzymy ciągi k-elementowe o różnych wyrazachtaknie
wariacje z powtórzeniamiW^{k}_{n}=n^ktworzymy ciągi k-elementowetaktak

Kombinatoryka - przykłady

A oto tabela z przykładami p utworzonymi z elementów zbioru trzyelementowego.

nazwa pOkreślenie wszystkich p dla zbioru {a,b,c}
permutacje(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)
kombinacje1-elementowe: {a}, {b}, {c}
2-elementowe: {a,b}, {a,c}, {b,c}
3-elementowe: {a,b,c}
wariacje bez powtórzeń1-elementowe: (a), (b), (c)
2-elementowe: (a,b), (a,c), (b,c), (b,a), (c,a), (c,b)
3-elementowe: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)
wariacje z powtórzeniami1-elementowe: (a), (b), (c)
2-elementowe: (a,b), (a,c), (b,c), (b,a), (c,a), (c,b), (a,a), (b,b), (c,c)
3-elementowe: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a), (a,a,b), (a,a,c), (b,a,a), (c,a,a), (a,b,a), (a,c,a), (b,b,a), (b,b,c), (a,b,b), (c,b,b), (b,a,b), (b,c,b), (c,c,a), (c,c,b), (a,c,c), (b,c,c), (c,a,c), (c,b,c), (a,a,a), (b,b,b), (c,c,c)

Pytania

Co mają ze sobą wspólnego kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa?

Otóż kombinatoryka dostarcza narzędzi do wyliczania prawdopodobieństwa pewnych zdarzeń, jeżeli tylko mamy do czynienia z losowaniem elementów z określonych zbiorów. Kombinatoryka daje pewne podstawy w rachunku prawdopodobieństwa.

Jakie ma zastosowanie kombinatoryka?

Kombinatoryka powstała w XVI wieku wraz z grami hazardowymi i w grach hazardowych ma praktyczne zastosowanie. Oprócz tego jest stosowana w informatyce, rachunku prawdopodobieństwa, w teorii liczb i teorii grafów.

Prawdopodobieństwo a kombinatorykaPrawdopodobieństwo a kombinatoryka
Zastosowanie kombinatoryki do obliczania prawdopodobieństwa.


© medianauka.pl, 2009-08-23, ART-303







Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Kombinatoryka

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - kombinatoryka - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 24, matura 2014
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?

A. 100
B. 90
C. 45
D. 20

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wariacje - zadanie z treścią - informatyka
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wariacje bez powtórzeń
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wariacje bez powtórzeń - zadanie z treścią
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje - równanie
Rozwiązać równanie: C_{x+2}^{2}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje, oblicanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim - 20 obrazków tułowia, w trzecim - 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z odnóżami. Układamy kartki jedna pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - permutacje, obliczanie permutacji
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - kombinacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Z ilu elementów składa się zbiór A, jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

PermutacjaPermutacja
Permutacja zbioru n-elementowego jest to każdy ciąg n-wyrazowy utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.
KombinacjaKombinacja
Co to sa kobinacje k-elementowe n-elementowego zbioru? Jak obliczyć liczbę kombinacji? Wzory, definicje i przykłady.
Wariacja bez powtórzeńWariacja bez powtórzeń
Co to jest wariacja k-elementowa bez powtórzeń n-elementowego zbioru?
Wariacja z powtórzeniamiWariacja z powtórzeniami
Co to jest wariacja k-elementowa z powtórzeniami n-elementowego zbioru?



© Media Nauka 2008-2018 r.