Logo Serwisu Media Nauka


Kombinatoryka

Teoria Dość często pojęcia permutacji, kombinacji, wariacji bez powtórzeń i wariacji z powtórzeniami są mylone ze sobą. W poniższej tabeli zestawione zostały podobieństwa i różnice między nimi.

Niech:
p - oznacza permutację, kombinację lub wariację,
n - liczba elementów pewnego zbioru,
k - liczba elementów ciągu lub podzbioru dla tworzonych p.

nazwa pLiczba pRodzajCzy kolejność wyrazów ma znaczenie?Czy mogą występować powtórzenia tego samego elementu zbioru?
permutacjeP_n=n!tworzymy ciągi n-elementowetaknie
kombinacjeC^{k}_{n}={n \choose k}=\\=\frac{n!}{k!(n-k)!}tworzymy podzbiory k-elementowenienie
wariacje bez powtórzeńV^{k}_{n}=\frac{n!}{(n-k)!}tworzymy ciągi k-elementowe o różnych wyrazachtaknie
wariacje z powtórzeniamiW^{k}_{n}=n^ktworzymy ciągi k-elementowetaktak

A oto tabela z przykładami p utworzonymi z elementów zbioru trzyelementowego.

nazwa pOkreślenie wszystkich p dla zbioru {a,b,c}
permutacje(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)
kombinacje 1-elementowe: {a}, {b}, {c}
2-elementowe: {a,b}, {a,c}, {b,c}
3-elementowe: {a,b,c}
wariacje bez powtórzeń 1-elementowe: (a), (b), (c)
2-elementowe: (a,b), (a,c), (b,c), (b,a), (c,a), (c,b)
3-elementowe: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)
wariacje z powtórzeniami 1-elementowe: (a), (b), (c)
2-elementowe: (a,b), (a,c), (b,c), (b,a), (c,a), (c,b), (a,a), (b,b), (c,c)
3-elementowe: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a), (a,a,b), (a,a,c), (b,a,a), (c,a,a), (a,b,a), (a,c,a), (b,b,a), (b,b,c), (a,b,b), (c,b,b), (b,a,b), (b,c,b), (c,c,a), (c,c,b), (a,c,c), (b,c,c), (c,a,c), (c,b,c), (a,a,a), (b,b,b), (c,c,c)

© Media Nauka, 2009-08-23, ART-303



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 110 - permutacje, obliczanie permutacji
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5?

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

zadanie - ikonka Zadanie 126 - wariacje - zadanie z treścią - informatyka
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?

zadanie - ikonka Zadanie 123 - wariacje bez powtórzeń
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?

zadanie - ikonka Zadanie 122 - wariacje bez powtórzeń - zadanie z treścią
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?

zadanie - ikonka Zadanie 121 - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?

zadanie - ikonka Zadanie 120 - kombinacje - równanie
Rozwiązać równanie: C_{x+2}^{2}=1

zadanie - ikonka Zadanie 119 - kombinacje, oblicanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim - 20 obrazków tułowia, w trzecim - 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z odnóżami. Układamy kartki jedna pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

zadanie - ikonka Zadanie 118 - kombinacje, obliczanie kombinacji - kombinatoryka - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

zadanie - ikonka Zadanie 117 - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

zadanie - ikonka Zadanie 116 - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

zadanie - ikonka Zadanie 115 - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?

zadanie - ikonka Zadanie 114 - kombinacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

zadanie - ikonka Zadanie 113 - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?

zadanie - ikonka Zadanie 112 - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Z ilu elementów składa się zbiór A, jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?

zadanie - ikonka Zadanie 111 - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?

maturalne zadania zadanie - ikonka Zadanie maturalne nr 24, matura 2014
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?

A. 100
B. 90
C. 45
D. 20



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy koszyk