Kombinatoryka
Kombinatoryka stanowi dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczby zbiorów, jakie można utworzyć w zadany sposób z elementów danego skończonego zbioru.
Dość często pojęcia permutacji, kombinacji, wariacji bez powtórzeń i wariacji z powtórzeniami są mylone ze sobą. W poniższej tabeli zestawione zostały podobieństwa i różnice między nimi. Tabela zawiera informacje, które ułatwią podjęcie decyzji, kiedy jaki wzór zastosować. Ponadto tablice te zawierają wszystkie podstawowe wzory z kombinatoryki.
Kombinatoryka - wzory
Niech:
p - oznacza permutację, kombinację lub wariację,
n - liczba elementów pewnego zbioru,
k - liczba elementów ciągu lub podzbioru dla tworzonych p.
| nazwa p | Liczba p | Rodzaj | Czy kolejność wyrazów ma znaczenie? | Czy mogą występować powtórzenia tego samego elementu zbioru? |
| permutacje |  | tworzymy ciągi n-elementowe | tak | nie |
| kombinacje |  | tworzymy podzbiory k-elementowe | nie | nie |
| wariacje bez powtórzeń |  | tworzymy ciągi k-elementowe o różnych wyrazach | tak | nie |
| wariacje z powtórzeniami |  | tworzymy ciągi k-elementowe | tak | tak |
Kombinatoryka - przykłady
A oto tabela z przykładami p utworzonymi z elementów zbioru trzyelementowego.
| nazwa p | Określenie wszystkich p dla zbioru {a,b,c} |
| permutacje | (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a) |
| kombinacje | 1-elementowe: {a}, {b}, {c} 2-elementowe: {a,b}, {a,c}, {b,c} 3-elementowe: {a,b,c} |
| wariacje bez powtórzeń | 1-elementowe: (a), (b), (c) 2-elementowe: (a,b), (a,c), (b,c), (b,a), (c,a), (c,b) 3-elementowe: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a) |
| wariacje z powtórzeniami | 1-elementowe: (a), (b), (c) 2-elementowe: (a,b), (a,c), (b,c), (b,a), (c,a), (c,b), (a,a), (b,b), (c,c) 3-elementowe: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a), (a,a,b), (a,a,c), (b,a,a), (c,a,a), (a,b,a), (a,c,a), (b,b,a), (b,b,c), (a,b,b), (c,b,b), (b,a,b), (b,c,b), (c,c,a), (c,c,b), (a,c,c), (b,c,c), (c,a,c), (c,b,c), (a,a,a), (b,b,b), (c,c,c) |
Pytania
Co mają ze sobą wspólnego kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa?
Otóż kombinatoryka dostarcza narzędzi do wyliczania prawdopodobieństwa pewnych zdarzeń, jeżeli tylko mamy do czynienia z losowaniem elementów z określonych zbiorów. Kombinatoryka daje pewne podstawy w rachunku prawdopodobieństwa.
Jakie ma zastosowanie kombinatoryka?
Kombinatoryka powstała w XVI wieku wraz z grami hazardowymi i w grach hazardowych ma praktyczne zastosowanie. Oprócz tego jest stosowana w informatyce, rachunku prawdopodobieństwa, w teorii liczb i teorii grafów.
Prawdopodobieństwo a kombinatorykaZadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 2 — maturalne.
Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
Zadanie nr 4 — maturalne.
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5?
- 402
- 403
- 203
- 204
Zadanie nr 5 — maturalne.
Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa 30.Zadanie nr 6 — maturalne.
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?A. 100
B. 90
C. 45
D. 20
Zadanie nr 7 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.Zadanie nr 8.
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?Zadanie nr 9.
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?Zadanie nr 10.
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?Zadanie nr 11.
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?
Zadanie nr 12.
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5?Zadanie nr 13.
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim - 20 obrazków tułowia, w trzecim - 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z odnóżami. Układamy kartki jedna pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?Zadanie nr 14.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?Zadanie nr 15.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?Zadanie nr 16.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?Zadanie nr 17.
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?Zadanie nr 18.
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?Zadanie nr 19.
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?Zadanie nr 20.
Z ilu elementów składa się zbiór A, jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?Zadanie nr 21.
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?Inne zagadnienia z tej lekcji
Permutacja
Permutacja zbioru n-elementowego jest to każdy ciąg n-wyrazowy utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.
Kombinacja
Co to sa kobinacje k-elementowe n-elementowego zbioru? Jak obliczyć liczbę kombinacji? Wzory, definicje i przykłady.
Wariacja bez powtórzeń
Co to jest wariacja k-elementowa bez powtórzeń n-elementowego zbioru?
Wariacja z powtórzeniami
Co to jest wariacja k-elementowa z powtórzeniami n-elementowego zbioru?
Test wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.
Dlaczego garnki są okrągłe?
Co sprawia, że widujemy w sprzedaży garnki o podstawie koła, a nie na przykład kwadratu? Może to zwykłe przyzwyczajenie i wygoda? Okazuje się, że powodów jest kilka.
© medianauka.pl, 2009-08-23, ART-303