Zadanie - kombinacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Treść zadania:
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?
Rozwiązanie zadania
Tworzymy zbiór miast. Jest to zbiór dziesięcioelementowy (\(n=10\)).
Wybieramy dwa dowolne miasta i budujemy między nimi drogę (wybieramy 2 elementy ze zbioru miast, czyli \(k=2\)).
Kolejność wyboru miast nie ma znaczenia, bo czy wybierzemy miasto (A, potem B, czy też najpierw B, a potem A, to i tak budujemy jedną drogę między nimi. Miasta nie mogą się powtarzać (musimy wybierać 2 różne miasta), więc tworzymy kombinacje dwuelementowe zbioru dziesięcioelementowego (Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje).
Liczbę kombinacji obliczamy następująco:
\(C_n^k={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
\( C_{10}^2={10\choose 2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{\cancel{8!}\cdot 9 \cdot 10}{1\cdot 2\cdot \cancel{8!}}=\frac{90}{2}=45\)
Odpowiedź
Trzeba zbudować 45 dróg.© medianauka.pl, 2010-01-10, ZAD-504
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?
Zadanie nr 2.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?
Zadanie nr 3.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?
Zadanie nr 4.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?
Zadanie nr 5.
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?
Zadanie nr 7.
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?
Zadanie nr 8 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.