Zadanie - kombinacje - równanie
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(C_{x+2}^{2}=1\).
Rozwiązanie zadania
Lewa strona równania, to liczba kombinacji \(k\)-elementowych ze zbioru \(n\)-elementowego, którą obliczamy ze wzoru:
\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)Określamy dziedzinę równania
Ponieważ kombinacja dotyczy elementów zbioru (liczba elementów zbioru jest zawsze liczbą naturalną), więc niewiadoma x musi spełniać warunek: \(x+2>0\), czyli \(x>-2\) i \(x\) jest liczbą naturalną. Jest to dziedzina naszego równania.
Rozwiązujemy równanie:
Możemy napisać, że:
\(\frac{(x+2)!}{2![(x+2)-2]!}=1\)
\(\frac{\cancel{x!}(x+1)(x+2)}{2\cancel{x!}}=1/\cdot 2\)
\((x+1)(x+2)=2\)
\(x^2+x+2x+2-2=0\)
\(x^2+3x=0\)
\(x(x+3)=0\)
\(x=0 \vee x=-3<-2\)
Spójrzmy na pierwsze przekształcenie w liczniku. Wyrażenie \((x+2)!\) mogliśmy zgodnie z definicją silni zapisać jako \(x!(x+1)(x+2)\), gdyż \(n!=1\cdot 2\cdot …\cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n=(n-2)!\cdot (n-1)\cdot n\).
Wynik "-3" nie należy do dziedziny równania, natomiast liczba "0" jest rozwiązaniem naszego równania.
Odpowiedź
\(x=0\)© medianauka.pl, 2010-01-12, ZAD-510
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?
Zadanie nr 2.
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?
Zadanie nr 3.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?
Zadanie nr 4.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?
Zadanie nr 5.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?
Zadanie nr 6.
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?
Zadanie nr 7.
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?
Zadanie nr 8 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.