Zadanie - kombinacje - równanie

Rozwiązanie zadania

Lewa strona równania, to liczba kombinacji \(k\)-elementowych ze zbioru \(n\)-elementowego, którą obliczamy ze wzoru:

Określamy dziedzinę równania

Ponieważ kombinacja dotyczy elementów zbioru (liczba elementów zbioru jest zawsze liczbą naturalną), więc niewiadoma x musi spełniać warunek: \(x+2>0\), czyli \(x>-2\) i \(x\) jest liczbą naturalną. Jest to dziedzina naszego równania.

Rozwiązujemy równanie:

Możemy napisać, że:

\(\frac{(x+2)!}{2![(x+2)-2]!}=1\)

\(\frac{\cancel{x!}(x+1)(x+2)}{2\cancel{x!}}=1/\cdot 2\)

\((x+1)(x+2)=2\)

\(x^2+x+2x+2-2=0\)

\(x^2+3x=0\)

\(x(x+3)=0\)

\(x=0 \vee x=-3<-2\)

Spójrzmy na pierwsze przekształcenie w liczniku. Wyrażenie \((x+2)!\) mogliśmy zgodnie z definicją silni zapisać jako \(x!(x+1)(x+2)\), gdyż \(n!=1\cdot 2\cdot …\cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n=(n-2)!\cdot (n-1)\cdot n\).

Wynik "-3" nie należy do dziedziny równania, natomiast liczba "0" jest rozwiązaniem naszego równania.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-01-12, ZAD-510

Zadania podobne

Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr \(1,2,3,4,5\)?

W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?

Z ilu elementów składa się zbiór \(A\), jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?

Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?

Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?

Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

a) Ile można utworzyć liczb z cyfr \(1, 2, 3, 4\), używając każdej z cyfr tylko raz?

b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(1, 2, 3, 4\)?

c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(0, 1, 2, 3\)?

Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?

W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?

Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?

A. 100

B. 90

C. 45

D. 20

Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa 30.

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5?

1. 402
2. 403
3. 203
4. 204

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest

A. 108

B. 60

C. 40

D. 299

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5 jest

A. 9·8·7·2

B. 9·10·10·1

C. 9·10·10·2

D. 9·9·8·1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest

A. \(5^3\)

B. \(2\cdot 4^3\)

C. \(2\cdot 3^4\)

D. \(3^5\)