zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 24, matura 2018

Treść zadania:

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5?

  1. 402
  2. 403
  3. 203
  4. 204

ksiązki Rozwiązanie zadania

Można zauważyć, że wszystkie wyrazy mniejsze od 2018 i podzielne przez 5 tworzą ciąg arytmetyczny 100, 1005, ... 2015 o różnicy r-5. Można policzyć liczbę tych wyrazów korzystając z własności ciągu arytmetycznego.

My zaproponujemy jednak skorzystanie z kombinatoryki.

Liczba większa od zera jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra jest zerem lub piątką. Zatem są 4 takie liczby większe od 1999. Są to:

\( A=\lbrace 2000, 2005, 2010, 2015 \rbrace\)

\( |A|=4 \)

Rozpatrzmy teraz wszystkie możliwości. Na pierwszym miejscu naszej liczby może się teraz znaleźć tylko jedynka, a więc mamy tylko jedną taką możliwość.

Na ostatnim miejscu naszej liczby może się teraz znaleźć tylko 0 lub 5, a więc mamy tylko dwie możliwości.

Na ile sposobów można rozmieścić wszystkie cyfry na drugiej i trzeciej pozycji, przy czym liczby te mogą się powtarzać, a ich kolejność ma znaczenie. Obliczamy wariację z powtórzeniami ciągów 2-elementowych ze zbioru n=10 cyfr.

\(W^2_{10}=10^2=100\)

Zatem możemy teraz zastosować zasadę mnożenia. Liczba wszystkich możliwości rozmieszczenia cyfr w liczbie czterocyfrowej mniejszej niż 2000 wynosi:

\( 1\cdot 100\cdot 2=200\)

Uwzględniając jeszcze |A| (liczby większe niż 1999) mamy odpowiedź. Takich liczb jest:

\(200+4=204\)

ksiązki Odpowiedź

Odpowiedź D

© medianauka.pl, 2023-01-06, ZAD-4610

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr \(1,2,3,4,5\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Z ilu elementów składa się zbiór \(A\), jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Rozwiązać równanie \(C_{x+2}^{2}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12.

a) Ile można utworzyć liczb z cyfr \(1, 2, 3, 4\), używając każdej z cyfr tylko raz?

b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(1, 2, 3, 4\)?

c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr \(0, 1, 2, 3\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13.

Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14.

W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15.

Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 17 — maturalne.

Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?

A. 100

B. 90

C. 45

D. 20

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 18 — maturalne.

Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa 30.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 19 — maturalne.

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 20 — maturalne.

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 21 — maturalne.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest

A. 108

B. 60

C. 40

D. 299

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 22 — maturalne.

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5 jest

A. 9·8·7·2

B. 9·10·10·1

C. 9·10·10·2

D. 9·9·8·1

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 23 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest

A. \(5^3\)

B. \(2\cdot 4^3\)

C. \(2\cdot 3^4\)

D. \(3^5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.