Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Treść zadania:
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?
Rozwiązanie zadania
W tym przypadku dokonujemy dwóch losowań. Mamy więc jeden zbiór 15-elementowy dziewcząt i 15-elementowy zbiór chłopców. Wybieramy jedną uczennicę z jednego zbioru i dwóch chłopców z drugiego zbioru do delegacji (czyli \(k=1\) w przypadku dziewcząt i \(k=2\) w przypadku chłopców). Kolejność wyboru uczniów nie ma znaczenia. Uczniowie nie mogą się powtarzać (musimy wybrać różnych uczniów), więc tworzymy kombinacje jednoelementowe w przypadku dziewcząt i dwuelementowe w przypadku chłopców zbioru 15-elementowego w obu przypadkach. (Spójrz na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje).
Jak połączyć ze sobą te dwie kombinacje? Musimy pomnożyć je przez siebie, aby otrzymać wynik. Dlaczego pomnożyć? Załóżmy, że wybraliśmy pierwszą dziewczynę ze zbioru dziewcząt do delegacji i dalej stosujemy wszystkie możliwe kombinacje chłopców. Wybieramy kolejną dziewczynę i dopełniamy delegację tymi samymi kombinacjami zbioru chłopców i tak dalej tyle razy, ile razy wybieramy dziewczynę ze zbioru dziewcząt.
Liczbę możliwości wyboru delegacji obliczymy następująco:
\(C_{15}^1\cdot C_{15}^2={15\choose 1}\cdot {15\choose 2}=\)
\(=\frac{15!}{1!(15-1)!}\cdot \frac{15!}{2!(15-2)!}=\frac{\cancel{14!} \cdot 15}{\cancel{14!}}\cdot \frac{\cancel{13!}\cdot 14 \cdot 15}{2\cdot \cancel{13!}}=1575\)
Odpowiedź
Delegację trzyosobową, w której jedna osoba to dziewczyna, a dwie to chłopcy, można wybrać na 1575 sposobów.© medianauka.pl, 2010-01-11, ZAD-507
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?
Zadanie nr 2.
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?
Zadanie nr 3.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?
Zadanie nr 4.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?
Zadanie nr 5.
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?
Zadanie nr 7.
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?
Zadanie nr 8 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.