Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - kombinatoryka - zadanie z treścią
Treść zadania:
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?
Rozwiązanie zadania
W treści zadania pojawiło się słowo "co najmniej", które oznacza, że są dwa przypadki: jeden, gdy do delegacji wybieramy dwóch chłopców i jedną dziewczynę i drugi przypadek — gdy wybieramy do delegacji trzech chłopców. Aby uzyskać liczbę wszystkich możliwych delegacji, sumujemy te dwa przypadki.
Przypadek 1
W przypadku pierwszym dokonujemy dwóch losowań. Mamy więc jeden zbiór 14-elementowy dziewcząt i 16-elementowy zbiór chłopców. Wybieramy jedną uczennicę z jednego zbioru i dwóch chłopców z drugiego zbioru do delegacji (czyli \(k=1\) w przypadku dziewcząt i \(k=2\) w przypadku chłopców). Kolejność wyboru uczniów nie ma znaczenia. Uczniowie nie mogą się powtarzać (musimy wybrać różnych uczniów), więc tworzymy kombinacje jednoelementowe w przypadku dziewcząt i dwuelementowe w przypadku chłopców zbioru 14-elementowego i 16-elementowego. Jak połączyć ze sobą te dwie kombinacje? Musimy pomnożyć je przez siebie, aby otrzymać wynik. Dlaczego pomnożyć? Załóżmy, że wybraliśmy pierwszą dziewczynę ze zbioru dziewcząt do delegacji i dalej stosujemy wszystkie możliwe kombinacje chłopców. Wybieramy kolejną dziewczynę i dopełniamy delegację tymi samymi kombinacjami zbioru chłopców i tak dalej tyle razy, ile razy wybieramy dziewczynę ze zbioru dziewcząt.
Przypadek 2
W przypadku drugim losujemy jedynie trzech chłopców ze zbioru 16-elementowego, wszystkie pozostałe cechy losowania są te same.
(Spójrz więc na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje w zależności od warunków danego problemu z kombinatoryki.)
Liczbę możliwości wyboru delegacji obliczymy następująco:
\(C_{16}^2\cdot C_{14}^1+C_{16}^{3}={16\choose 2}\cdot {14\choose 1}+{16\choose 3}=\)
\(=\frac{16!}{2!(16-2)!}\cdot \frac{14!}{1!(14-1)!}+\frac{16!}{3!(16-3)!}=\)
\(=\frac{\cancel{14!} \cdot 15\cdot 16}{2\cdot \cancel{14!}}\cdot \frac{\cancel{13!}\cdot 14}{\cancel{13!}}+\frac{\cancel{13!}\cdot 14\cdot 15 \cdot 16}{2\cdot 3 \cdot \cancel{13!}}=1680+560=2240\)
Odpowiedź
Delegację trzyosobową, w której jest co najmniej dwóch chłopców, można wybrać na 2240 sposobów.© medianauka.pl, 2010-01-11, ZAD-508
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?
Zadanie nr 2.
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o \(n\) bokach?
Zadanie nr 3.
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?
Zadanie nr 4.
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?
Zadanie nr 5.
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim — 20 obrazków tułowia, w trzecim — 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z kończynami dolnymi. Układamy kartki, jedną pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?
Zadanie nr 7.
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?
Zadanie nr 8 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.