Strona główna » Matematyka » Kombinacja • Kombinatoryka

zadanie

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - kombinatoryka - zadanie z treścią

Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z co najmniej dwóch chłopców z klasy liczącej 16 chłopców i 14 dziewcząt?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$C_{16}^2\cdot C_{14}^1+C_{16}^{3}={16\choose 2}\cdot {14\choose 1}+{16\choose 3}=\\ =\frac{16!}{2!(16-2)!}\cdot \frac{14!}{1!(14-1)!}+\frac{16!}{3!(16-3)!}=\\ =\frac{\cancel{14!} \cdot 15\cdot 16}{2\cdot \cancel{14!}}\cdot \frac{\cancel{13!}\cdot 14}{\cancel{13!}}+\frac{\cancel{13!}\cdot 14\cdot 15 \cdot 16}{2\cdot 3 \cdot \cancel{13!}}=1680+560=2240$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W treści zadania pojawiło się słowo "co najmniej", które oznacza, że są dwa przypadki: jeden, gdy do delegacji wybieramy dwóch chłopców i jedną dziewczynę i drugi przypadek - gdy wybieramy do delegacji trzech chłopców. Aby uzyskać liczbę wszystkich możliwych delegacji sumujemy te dwa przypadki.

Przypadek 1

W przypadku pierwszym dokonujemy dwóch losowań. Mamy więc jeden zbiór 14-elementowy dziewcząt i 16-elementowy zbiór chłopców. Wybieramy jedną uczennicę z jednego zbioru i dwóch chłopców z drugiego zbioru do delegacji (czyli k=1 w przypadku dziewcząt i k=2 w przypadku chłopców). Kolejność wyboru uczniów nie ma znaczenia. Uczniowie nie mogą się powtarzać (musimy wybrać różnych uczniów), więc tworzymy kombinacje jednoelementowe w przypadku dziewcząt i dwuelementowe w przypadku chłopców zbioru 14-elementowego i 16-elementowego. Jak połączyć ze sobą te dwie kombinacje? Musimy pomnożyć je przez siebie, aby otrzymać wynik. Dlaczego pomnożyć? Załóżmy, że wybraliśmy pierwszą dziewczynę ze zbioru dziewcząt do delegacji i dalej stosujemy wszystkie możliwe kombinacje chłopców. Wybieramy kolejną dziewczynę i dopełniamy delegację tymi samymi kombinacjami zbioru chłopców i tak dalej tyle razy, ile razy wybieramy dziewczynę ze zbioru dziewcząt.

Przypadek 2

W przypadku drugim losujemy jedynie trzech chłopców ze zbioru 16-elementowego, wszystkie pozostałe cechy losowania są te same.

(Spójrz więc na tabelę, w której zestawiono permutacje, kombinacje i wariacje w zależności od warunków danego problemu z kombinatoryki.)

Liczbę możliwości wyboru delegacji obliczymy następująco:

$C_{16}^2\cdot C_{14}^1+C_{16}^{3}={16\choose 2}\cdot {14\choose 1}+{16\choose 3}=\\ =\frac{16!}{2!(16-2)!}\cdot \frac{14!}{1!(14-1)!}+\frac{16!}{3!(16-3)!}=\\ =\frac{\cancel{14!} \cdot 15\cdot 16}{2\cdot \cancel{14!}}\cdot \frac{\cancel{13!}\cdot 14}{\cancel{13!}}+\frac{\cancel{13!}\cdot 14\cdot 15 \cdot 16}{2\cdot 3 \cdot \cancel{13!}}=1680+560=2240$

Odpowiedź

Delegację trzyosobową, w której jest co najmniej dwóch chłopców można wybrać na 2240 sposobów.

© medianauka.pl, 2010-01-11, ZAD-508

Zadania podobne

Zadanie - permutacje, obliczanie permutacji
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr 1,2,3,4,5?

Zadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?

Zadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Z ilu elementów składa się zbiór A, jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?

Zadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?

Zadanie - kombinacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile dróg trzeba zbudować, aby połączyć ze sobą dziesięć miejscowości, każda z każdą?

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
Ile przekątnych znajduje się w wielokącie foremnym o n bokach?

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać pięcioosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów?

Zadanie - kombinacje, obliczanie kombinacji - zadanie z treścią
Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację złożoną z jednej dziewczyny i dwóch chłopców z klasy liczącej 15 chłopców i 15 dziewcząt?

Zadanie - kombinacje, oblicanie kombinacji - zadanie z treścią - kombinatoryka
W trzech stosach znajdują się karteczki z obrazkami. W pierwszym stosie znajduje się 10 obrazków głów, w drugim - 20 obrazków tułowia, w trzecim - 10 obrazków ilustrujących odnóża. Losujemy jedną kartkę z głową, dwie z tułowiem i jedną z odnóżami. Układamy kartki jedna pod drugą, tworząc obrazek stworka. Ile różnych stworków możemy w ten sposób utworzyć?

Zadanie - kombinacje - równanie
Rozwiązać równanie: $C_{x+2}^{2}=1$

Zadanie - kombinatoryka - tworzenie liczb - zadanie z treścią
a) Ile można utworzyć liczb z cyfr 1, 2, 3, 4, używając każdej z cyfr tylko raz?
b) Ile liczb co najwyżej czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,4?
c) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3?

Zadanie - wariacje bez powtórzeń - zadanie z treścią
Ile słów czteroliterowych (niekoniecznie mających znaczenie) można utworzyć z 32 liter alfabetu, używając każdej z liter tylko raz?

Zadanie - wariacje bez powtórzeń
W wyścigu bierze udział 10 koni. Zakład polega na właściwym wytypowaniu kolejności pierwszych trzech koni na mecie. Ile jest różnych możliwych zakładów przy założeniu, że konie nie przybiegają na metę jednocześnie?

Zadanie - wariacje - zadanie z treścią - informatyka
Komputer jest zabezpieczony hasłem, które składa się z ośmiu znaków i w jego skład może wchodzić każda z 10 cyfr, 32 liter alfabetu (mała i duża) oraz 26 znaków specjalnych? Ile może trwać łamanie hasła poprzez manualne wpisywanie kolejnych możliwych haseł, jeśli jedno hasło wpisujemy 1 s?

Zadanie maturalne nr 14, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.

Zadanie maturalne nr 24, matura 2014
Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników?

A. 100
B. 90
C. 45
D. 20

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

Ssaki Polska. Encyklopedia ilustrowana.

Ssaki Polska. Encyklopedia ilustrowana.
Praca zbiorowa

Teoretyczne minimum. Co musisz wiedzieć...

Teoretyczne minimum. Co musisz wiedzieć...
George Hrabovsky, Leonard Susskind

Niezwykłe liczby profesora Stewarta

Niezwykłe liczby profesora Stewarta
Ian Stewart

Kubek astronoma

Kubek astronoma

© Media Nauka 2008-2017 r.