Zadanie - permutacje - zadanie z treścią - kombinatoryka
Treść zadania:
Z ilu elementów składa się zbiór \(A\), jeżeli liczba jego permutacji jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji tego samego zbioru uzupełnionego o dwa dodatkowe elementy?
Rozwiązanie zadania
Wprowadzamy oznaczenia:
- \(n\) — liczba elementów zbioru \(A\) — wartość szukana,
- \(P_n\) — liczba permutacji zbioru \(A\),
- \(n+2\) — liczba elementów powiększonego zbioru, niech to będzie zbiór \(B\),
- \(P_{n+2}\) — liczba permutacji zbioru \(B\).
Liczbę permutacji obliczamy ze wzoru: \(P_n=n!\).
Ponieważ liczba permutacji zbioru \(A\) jest 20 razy mniejsza od liczby permutacji zbioru \(B\), możemy napisać:
\(P_{n+2}=20\cdot P_n\)
\(1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot n\cdot (n+1)\cdot (n+2)=20 \cdot n!\)
\(n!(n+1)(n+2)=20n!/:n!\)
\((n+1)(n+2)=20\)
\(n^2+2n+n+2-20=0\)
\(n^2+3n-18=0\)
Rozwiązujemy więc równanie kwadratowe, pamiętając że \(n\) jest liczbą naturalną i tylko takie pierwiastki stanowią rozwiązanie.
\(a=1,\ b=3,\ c=-18\)
\(\Delta=b^2-4ac=9+4\cdot 18=9+71=81\)
\(\sqrt{\Delta}=9\)
\(n_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-9}{2}=-6<0\)
\(n_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+9}{2}=3\)
Jak widać pierwszy z pierwiastków jest ujemny, nie może stanowić rozwiązania naszego zadania (zbiór nie może mieć ujemnej liczby elementów).
Odpowiedź
Zbiór \(A\) ma 3 elementy.© medianauka.pl, 2010-01-10, ZAD-502
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ile liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr \(1,2,3,4,5\)?
Zadanie nr 2.
W wyścigu chartów bierze udział sześć psów. Zakład polega na wytypowaniu właściwej kolejności psów na mecie (przy założeniu, że wszystkie dobiegają do mety i nie ma remisu). Ile zakładów trzeba zawrzeć, aby mieć pewność wygranej?
Zadanie nr 3.
Malarz chce namalować tęcze z wykorzystaniem wszystkich możliwych konfiguracji kolejności występowania jej siedmiu podstawowych kolorów. Ile tęcz malarz musi namalować?