Zadanie maturalne nr 13, matura 2020 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Rozpatrzymy trzy przypadki.

Przypadek 1

Niech pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest 1.

Pozostaje nam 6 miejsc, na których rozmieszczamy losowo dwie jedynki. Dwie jedynki na 6 miejscach możemy rozmieścić na \(6 \choose 2\) — jest to liczba kombinacji 2-elementowych ze zbioru 6-elementowego (kolejność wystąpienia jedynki nie ma tu znaczenia).

Pozostają nam 4 miejsca, na których w analogiczny sposób umieszczamy losowo dwójki. Takich kombinacji jest \(4 \choose 2\)

Zostają nam dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich liczb istnieje tyle ile istnieje wariacji z powtórzeniami 2-elementowych ze zbioru 8-elementowego, czyli \(8^2\).

Liczb utworzonych w ten sposób istnieje zatem:

\({4 \choose 2} \cdot {4\choose 2} \cdot 8^2=\frac{6!}{4!2!}\cdot \frac{4!}{2!2!}\cdot 64=\frac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!2!}\cdot \frac{2!\cdot 3\cdot 4}{2!2!}\cdot 64=15\cdot 6\cdot 64=5760\).

Przypadek 2

Niech pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest 2.

Pozostaje nam 6 miejsc, na których rozmieszczamy losowo trzy jedynki. Trzy jedynki na 6 miejscach możemy rozmieścić na \(6 \choose 3\).

Pozostają nam 3 miejsca, na których w analogiczny sposób umieszczamy losowo dwójkę. Takich kombinacji jest \(3 \choose 1\)

Zostają nam dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich liczb istnieje tyle ile istnieje wariacji z powtórzeniami 2-elementowych ze zbioru 8-elementowego, czyli \(8^2\).

Liczb utworzonych w ten sposób istnieje zatem:

\({6 \choose 3} \cdot {3\choose 1} \cdot 8^2=\frac{6!}{3!3!}\cdot \frac{3!}{2!1!}\cdot 64=20\cdot 3\cdot 64=3840\).

Przypadek 3

Niech pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest jedna z licz ze zbioru {3,4,5,6,7,8,9}. Zero nie może być na pierwszym miejscu badanej liczby. Takich cyfr jest 7.

Pozostaje nam 6 miejsc, na których rozmieszczamy losowo trzy jedynki. Trzy jedynki na 6 miejscach możemy rozmieścić na \(6 \choose 3\).

Pozostają nam 3 miejsca, na których w analogiczny sposób umieszczamy losowo dwójki. Takich kombinacji jest \(3 \choose 2\)

Zostaje nam dokładnie jedna cyfra ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich cyfr jest 8.

Liczb utworzonych w ten sposób istnieje zatem:

\(7\cdot {6 \choose 3} \cdot {3\choose 2} \cdot 8=7\cdot 20\cdot 3\cdot 8=3360\).

Podsumowanie

Łącznie z trzech badanych przypadków mamy \(5760+3840+3360=12960\) takich liczb.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-03-12, ZAD-4785

Zadania podobne

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5?

1. 402
2. 403
3. 203
4. 204

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają?

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od 700, w których każda cyfra należy do zbioru {1, 2, 3, 7, 8, 9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest

A. 108

B. 60

C. 40

D. 299